2.5等比数列的前n项和(2)学案(人教A版必修5)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com听课随笔2.5等比数列的前n项和（2）【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；2.了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。【自学评价】1．常见的数列的前n项的和：（１）n321=2)1(nn即nii1=2)1(nn（2）6)12)(1(12nnnini（3）213]2)1([nnini2．有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法．3．错位相减法：适用于{nanb}的前n项和，其中na是等差数列，nb是等比数列；4．裂项法：求na的前n项和时，若能将na拆分为na=nb－1nb，则111nnkkbba5．倒序相加法6.在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶【精典范例】【例1】求数列211，412，813，．．．的前n项和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法．【解】金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com听课随笔【例2】设数列na为231,2,3,4xxx,,1nnx0x求此数列前n项的和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法．【解】追踪训练一1．求和101)23(kk2．求和132)12(7531nnxnxxxS金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com听课随笔3．若数列na的通项公式为nnna2，则前n项和为()A.nnS211B.nnnnS22121C.nnnS211D.nnnnS221214．数列1，211，3211，…，n211的前n项和为()A.122nnB.12nnC.12nnD.1nn5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n+1n.【解】【选修延伸】【例3】已知数列｛an｝中，an＋1＝an＋2n，a1＝3，求an.【解】金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com听课随笔【例4】已知{na}为等比数列，且nS=a，nS2=b，（ab≠0），求nS3.【解】追踪训练二1．等比数列｛an｝的首项为1，公比为q,前n项和为S，则数列｛na1｝的前n项之和为（）A.S1B.SC.1nqSD.Sqn112．在等比数列｛an｝中，已知a1=25,前三项的和S3=215,则公比q的值为______.3．在等比数列｛an｝中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6=______.4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{}na是等和数列，且12a，公和为5，求18a的值及这个数列的前n项和nS.【解】【师生互动】学生质疑教师释疑金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2.5等比数列的前n项和（2）参考答案【精典范例】【例1】【解】nS（211）+（412）+．．．+（nn21）＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）＋（n21814121）=.2112)1(nnn【例2】【解】2311234nnSxxxnx①231231nnnxSxxxnxnx②由①②得1nxS211nnxxxnx，当1x时，nnnnxxxSx111xnxnxxnnn111xnxxnnn111121111xnxxnSnnn当1x时，214321nnnSn追踪训练一1.20762．21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn3．B4．B5．【解】设n=2k,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k－1)－(2k)］=－k=－2n设n=2k－1,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k－3)－(2k－2)］+2k－1=－(k－1)+2k－1=k=21n∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)nn+1=为奇数为偶数nnnn212【选修延伸】【例3】【解】由an＋1＝an＋2n金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com得an＝an－1＋2n－1即22221233222111aaaaaaaannnnnnnnn∴an－a1＝21)21(21n＝2n－2因此an＝2n－2＋a1＝2n＋1点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系为an＋1＝an＋f(n)的数列的通项公式.【例4】【解】设等比数列na的公比为q.若q=1（此时数列为常数列），则nS=n1a=a，122naSn=b，从而有2a=b∴anaSn3313（或233313banaSn）若q≠1（即2a≠b），由已知qqaSnn1)1(1＝a①qqaSnn1)1(212＝b②又ab0,②/①得abqn1,1abqn③将③代入①，得baaqa2121∴nS3＝qqan1)1(31＝qa11)1(3nq＝baa22])1(1[3ab＝ababa22追踪训练二1．C2．1或－2___.3．140___.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共7页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com4．【解】{}na是等和数列，12a，公和为5，23a，则342,3,aa知2213,2()nnaanN，183a。数列{}na形如2,3,2,3,2,3,2,3,，5()251()22nnnSnn为偶数为奇数。答3；当n为偶数时52nSn；当n为奇数时，5122nSn.