2.7对数(第一课时)

对数产生于17世纪．那时，为了确定船舶在大海中的航程和位置，为了观察行星运动所得数据，都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算，对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度．直到计算机与计算器普及之前，对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用．指数概念扩充到任意实数指数是17世纪到18世纪逐步形成的．18世纪后人们将它们联系起来研究．我们在学习中，要注意指数与对数、指数函数与对数函数的联系，这有利于我们理解和掌握有关概念．在前面我们学习的指数函数y＝ax（a0,a≠1）中，若已知y和a，如何求x呢？即3x＝5,x＝____________?这是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是这一节我们要学习的对数问题．【学习目标】1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；2．了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用计算．【学习障碍】1．学生对logaN＝b这种表达很陌生，不习惯．2．不明白对数式的含义，即对定义理解不确切．3．对真数的取值范围意义不明白，误认为0和负数也可以．4．对数式与指数式互化不熟练．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P76~77页．2．本课时重点是指数式与对数式的互化，ab＝Nb＝logaN（a0,且a≠1）．难点是对对数的定义的理解．3．本课时主要基本知识．对数的定义：如果a（a0,a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写）．常用对数：通常将以10为底的对数叫常用对数．自然对数：以e为底的对数叫做自然对数．4．注意：零和负数没有对数．5．学习本课时应注意：对数的概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数式与指数式的相互联系，深刻理解对数与指数关系，将有助于掌握对数概念，对于对数式与指数式的互化，简单对数值的计算，要多做些练习，以丰富对对数式的认识经验．对数运算是指数运算的逆运算，结合对数运算应注意培养自己的逆向思维能力．Ⅱ．知识拓宽常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N，简记作lgN，例如log105记作lg5．以无理数e＝2．718281828459…为底的对数叫做自然对数，N的自然对数logeN简记作lnN．例如自然对数loge3记作ln3．自然对数与常用对数之间的关系：lnN＝4343.0lglglgNeN，即lnN＝2.303lgN．在常用对数中我们省去了底数不写．例如lg10＝log1010＝1，lg100＝log10102＝2，lg0．1＝log1010－1＝－1等等．Ⅲ．障碍分析1．对数式、指数式与根式有怎样的关系？答：指数式ab＝N，根式bN＝a和对数式logaN＝b（N0，a0，a≠1）是同一种数量关系的三种不同表达形式．请见下表．表达形式abN对应的运算ab＝N底数指数幂乘方，由a、b求NbN＝a方根根指数被开方数开方，由N、b求alogaN＝b底数对数真数对数，由N、a求b由此可见：①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算．②弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键．即ab＝NlogaN＝b（a0且a≠1）．2．如何理解对数的概念？答：（1）对数由指数而来．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图：在指数式ab＝N中，若已知a、N求幂指数b，便是对数运算b＝logaN．（2）对数记号logaN只有在a0且a≠1、N0时才有意义，因为在ab＝N中，a0且a≠1，∴在logaN中，a0且a≠1．又因为正数的任何次幂都是正数，即ab0（a0），故N＝ab0．（3）关于对数的几个基本结论要牢记如：①零和负数没有对数，即在logaN中N≤0时无意义．②loga1＝0（a0，a≠1）．③logaa＝1（a0，a≠1）．注意：并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如（－2）2＝4不能写成log（－2）4＝2，只有a0，a≠1，N0，才有ab＝Nb＝logaN．（4）抓住两个问题实质，才能正确理解对数概念．问题1如果已知每年平均增长率α，求10年后国民生产总值是原来的多少倍．就是y＝（1＋α）10．这是知道底数和指数，求幂值——指数问题．问题2如果已知每年平均增长率α，问需经过多少年国民生产总值是原来的2倍．就是（1＋α）x＝2这是知道底数和幂值，求指数——对数问题．3．对数恒等式的证明：恒等式Naalog＝N（a0，a≠1，N0）称为对数恒等式．f［f－1（a）］＝a的具体化，它表达了对数运算与指数运算的互逆关系．恒等式的证明如下：设Naalog＝x，两边取以a为底的对数，则有logax＝logaN，∴x＝N，即Naalog＝N．使用这个恒等式的条件：作为整个幂的底数a，与指数中的对数的底数a是相同的，如果不同只有通过变形，将其化为“同底”后才能使用公式．［例］计算2lg9lg212log110033．分析：利用指数的运算法则和对数恒等式计算．解：原式＝3·496)10(1023100)100(322lg9lg2lg9lg212log3＝6＋41849．Ⅳ．思维拓展对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550~1617年），纳皮尔于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》公布了他的对数发明，并解释了这项发明的特点．继承纳皮尔关于对数研究事业的著名人物应首推数学家布里格斯（Briggs，1561年~1630年），他于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创造、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．Ⅴ．探究学习证明：lg2不是有理数．参考答案：解：①f（－x）＋f（x）＝0，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数．当a＞1时，12aa＞0，ax，－a－x在（－∞，＋∞）上都为增函数，∴f（x）在（－∞，＋∞）为增函数．当0＜a＜1时，12aa＜0，ax，－a－x在（－∞，＋∞）上都为减函数∴f（x）在（－∞，＋∞）为增函数②f（1－m）＋f（1－m2）＜0f（1－m）＜f（m2－1）1111111122mmmm1220mm∴0＜m＜1．【同步达纲练习】一、选择题1．以7为底，349343的对数等于A．231B．421C．2D．3322．如果N＝a2（a0，且a≠1），则有A．log2N＝aB．log2a＝NC．logNa＝2D．logaN＝23．下列说法中错误的是A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可化为对数式C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数4．有以下四个结论，其中正确的是①lg（lg10）＝0；②lg（lne）＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2．A．①③B．②④C．①②D．③④二、填空题5．若log3（921x）＝1，则x＝____________．6．log6［log4（log381）］＝____________．7．设f（10x）＝x，则f（100）＝____________．三、解答题8．试证明Naalog＝N．9．求满足logxy＝1的y与x的函数关系式，并作出其图象．参考答案【同步达纲练习】一、1．D提示：函数f（x）＝（21）|x|为偶函数，设y＝f（x），t＝|x|则y＝（21）t函数t＝|x|在（0，＋∞）上递增，因此f（x）＝（21）|x|在（0，＋∞）上递减．2．C提示：由y＝133xx得3x＝yy1由3x＞0即yy1＞0∴0＜y＜13．B提示：由f（－x）＝（1＋a－x）2ax＝（1＋ax）2·a－x＝f（x）．4．D提示：设t＝22xx，则y＝（21）t由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2函数t＝22xx（－1≤x≤2）的递减区间［21，2］即为函数y＝22)21(xx的递增区间．二、5．（0，2］提示：由t＝x2－2x＋21＝（x－1）2－21得t≥－21当t∈［－21，＋∞）时，函数y＝0．25t的取值范围为0＜y≤2125.0即0＜y≤26．－41提示：设y＝f（x），t＝ax，则t＞0，y＝t2－3t＋2＝（t－23）2－41当t＝23时，函数取到最小值为－417．－21提示：∵函数f（x）＝a＋141x为奇函数且定义域为R．∴f（0）＝0即a＋21＝0，∴a＝－21三、8．（1）解：要使f（x）有意义，必须2x－1≠0即x≠0，∴函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）（2）解：∵f（－x）＝)21212())(21121(3xxxx（－x）3＝（－)21121())(2112112())(2112233xxxxxxx＝（)21121xx3＝f（x），∴f（x）是定义域上的偶函数．（3）证明：当x＞0时，2x＞1，x3＞0，∴f（x）＞0，又f（x）是偶函数，故当x＜0时，也有f（x）＝f（－x）＞0故f（x）＞0．9．解：（1）∵g（x）＋h（x）＝10x①将x换为－x得g（－x）＋h（－x）＝10－x即g（x）－h（x）＝10－②由①②联立得：g（x）＝21010xx，h（x）＝21010xx（2）设x1＜x2∴211010xx①，且211010xx②①＋②得：221110101010xxxx即h（x1）＜h（x2），因此h（x）在（－∞，＋∞）上递增．