2.7对数(第二课时)

对数（第二课时）【学习目标】1．能用语言及数学符号准确叙述对数性质．2．能用对数的运算性质熟练地进行对数运算．3．进一步加深对对数概念的理解，为后面学习对数函数作好准备．【学习障碍】1．在对数运算性质应用中常出现诸如loga（M＋N）＝logaM＋logaN，loga2N＝2logaN之类的错误，即混淆积商，幂对数与对数的积、商、幂的意义，把对数符号当成表示数的字母进行运算．2．在应用对数的运算性质时忽略对定义域的考查，造成式子无意义．3．混合运算，公式逆用不熟练．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P76~81页．2．本课时重点是对数的运算法则，难点是对对数运算法则的理解和运用．3．主要基本知识：根据logaN＝bab＝N．（a0，a≠1，N0）这个关系式，我们可以证得对数的运算性质：如果a0，a≠1，M0，N0，那么（1）loga（MN）＝logaM＋logaN（2）logaNM＝logaM－logaN（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）4．（1）在学习中利用对数运算性质时，要注意对定义域的考查，即所得结果中所有式子均有意义．如log3（－3）（－5）＝log3（－3）＋log3（－5）与log10（－10）2＝2log10（－10）．等号左边均有意义，但右边无意义，因此应对左边先变形化为log3（－3）（－5）＝log3（3×5），log10（－10）2＝log10102后再用公式．（2）注意区分开对数的积、商、幂与积、商、幂的对数的含义，如得出loga（M±N）＝logaM±logaN，loga（MN）＝logaMlogaN，logaNM＝NMaaloglog，logaMn＝（logaM）n，便是混淆了上述二者的含义，把对数符号当成了表示数的字母进行运算了，在学习过程中一定要注意避免．（3）在混合运算过程中，注意应用乘法公式、因式分解公式、配方法等，以提高解题速度与解题质量．在运算过程中注意应用：①loga1＝0，②logaa＝1，③Naalog＝N等基本性质，及lg2＋lg5＝lg10＝1等技巧．Ⅱ．知识拓宽1．由性质logaMn＝nlogaM（n∈R）很容易推出loganbn1logab（n∈N*，n1），做题时这个结论可直接应用．2．对数的换底公式：logbN＝bNaaloglog（a0，b0，且a，b≠1，N0），证明利用它可以“随意”地改变对数的底（即将b换为a）．证明：在等式N＝Nbblog中，两边取以a为底的对数，得logaN＝logab·logbN，当logab≠0时有logbN＝bNaaloglog．注意：有了换底公式，我们“有权”在解题中选择我们认为是恰当的底数．3．几个常见的关系式：logab·logbc＝logac；logab＝ablog1；nalogbm＝nmlogab；logaak＝k．Ⅲ．障碍分析1．对数的运算性质在应用时有哪些常见错误？①loga（M±N）＝logaM±logaN②logaNM＝NMaaloglog③loga（M·N）＝logaM·logaN④logaMn＝（logaM）n错因分析：主要是受分配律的影响．2．对数式与指数式的关系ab＝NlogaN＝b．（a0，a≠1，N0）3．指数运算性质与对数运算性质的比较指数运算性质对数运算性质am·an＝am＋n（am）n＝amn（ab）n＝an·bna0，b0，m，n∈Rloga（MN）＝logaM＋logaNlogaNM＝logaM－logaNlogaMN＝NlogaMM0，N0，a0，a≠14．对数运算的技巧［例1］计算（1）112lg1000lg8lg27lg（2）2（lg12lg2)2(lg5lg2lg)222解：（1）原式＝23)12lg23(lg232lg63lg312lg23lg232lg33lg23（2）原式＝12lg2)2(lg)5lg2lg2(2lg2＝2)12(lg)5lg2(lg2lg＝)2lg1(12lg＝1点评：在有关对数的运算中，应注意利用一些常见结论，如－log52＝log521，lg2＋lg5＝1，同时还应注意公式的逆用，如lg2＝2lg2等．5．利用换底公式证明：loganbm＝nmlogab．分析：把左边换成以a为底的对数．证明：nalogbm＝bnmanbmabaaanamalogloglogloglog．Ⅳ．思维拓展［例2］计算下列各式（1）lg12．5－lg85＋lg0．5；（2）2lg3.0lg211000lg8lg27lg；（3）223223(log2）．思路一：利用对数运算性质，将每项展开，达到相消或相约而求值．解法一：（1）原式＝lg21lg210lg210043＝lg100－3lg2－lg10＋4lg2－lg2＝lg100－lg10＝1；（2）原式＝3)12lg23(lg21)12lg23(lg232lg)10lg3(lg2110lg232lg33lg23；（3）原式＝])12()12([log222＝)]12()12[(log2＝22log2＝3．思路二：利用对数运算性质，将真数合并．解法二：（1）原式＝85215.12lg＝lg10＝1；（2）原式＝1032lg)1032lg(1032lg1000278lg3＝3；（3）原式＝22)223223(log21＝)22322326(log212＝8log212＝3．误区点拨：要求把对数的运算性质记忆准确，避免受分配律的影响，出现以下记忆上的错误：①loga（M±N）＝logaM±logaN，②logaNM＝NMaaloglog，③loga（MN）＝logaM·logaN，④logaMn＝（logaM）n．Ⅴ．探究学习1．是不是所有正数的对数都可以写成一个整数（正整数，零，负整数）加上一个正的纯小数（或者零）的形式？2．已知lg2＝0．3010，lg3＝0．4771．问（1）2300是多少位的整数（提示lg2300＝300×lg2）（2）（0．3）100的第一个不为零的数字前面有多少个零（包括小数点前的个位上的零）？参考答案：1．是2．（1）91位（2）53【同步达纲练习】一、选择题1．如果方程lg2x＋（lg2＋lg3）lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为A．lg2·lg3B．lg2＋lg3C．61D．－62．下列各式错误的是①log101001＝－2②log333＝23③loga2＋loga21＝0（a3）④log318－log32＝3⑤log1041－log1025＝－2⑥2log510＋log50．25＝2A．④B．⑤C．⑥D．全错3．（lg2）3＋（lg5）3＋3lg2·lg5的值为A．4B．1C．6D．34．若lnx－lny＝a，则ln（2x）3－ln（2y）3等于A．2aB．aC．23aD．3a二、填空题5．若log2［log0．5（log2x）］＝0，则x＝____________．6．5log21122等于____________．7．8lg3136.0lg2113lg2lg2＝____________．三、解答题8．已知lg（x＋2y）＋lg（x－y）＝lg2＋lgx＋lgy，求yx．9．已知a＋b＝lg32＋lg35＋3lg2·lg5，求a3＋b3＋3ab的值．参考答案【同步达纲练习】一、1．C提示：由方程lg2x＋（lg2＋lg3）lgx＋lg2·lg3＝0知lgx1＝－lg2，lgx2＝－lg3，x1＝21，x2＝31，x1·x2＝61．2．A提示：log318－log32＝log3218＝log39＝23．B提示：原式＝（lg2＋lg5）3－3lg22·lg5－3lg2·lg25＋3lg2·lg5＝1－3lg2lg5·（lg2＋lg5）＋3lg2lg5＝14．D提示：ln（2x）3－ln（2y）3＝3（ln2x－ln2y）＝3（lnx－ln2－lny＋ln2）＝3a二、5．2提示：由log2［log0.5（log2x）］＝0，则log0.5（log2x）＝1log2x＝0.51＝0.520.5＝x∴x＝2．6．25提示：522225log5log211227．1提示：原式＝12lg2lg2lg6.0lg112lg＝1三、8．解：由已知条件得xyyxyxyxyxyx2))(2(00002即0))(2(00yxyxyx∴x－2y＝0，因此yx＝29．解：∵a＋b＝（lg2＋lg5）（lg22－lg2lg5＋lg25）＋3lg2·lg5＝lg22－lg2lg5＋lg25＋3lg2lg5＝（lg2＋lg5）2＝1∴a3＋b3＋3ab＝（a＋b）（a2－ab＋b2）＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝（a＋b）2＝1．