2.8对数函数(第二课时)

对数函数（第二课时）【学习目标】1．巩固对数函数的概念、图象和性质．2．掌握与对数函数有关的复合函数的性质，如奇偶性、单调性、值域等的求解方法．【学习障碍】1．应用图象和性质解题时忽略对底数的分类讨论．2．研究复合函数的有关性质时忽略对定义域的考查．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P83~85页．2．本课时的重点是应用对数函数的图象和性质去解决综合性问题，难点是有关复合函数有关单调性、奇偶性的判断，求证．3．本课时用到的主要知识及方法．（1）利用图象法研究对数函数的有关性质．对数函数的图象要分底数a＞1及0＜a＜1讨论．对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解．实际上，作出直线y＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小．如图2—14所示：利用图象法研究不同底的两个对数函数的有关性质时特别方便．（2）利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调区间时，一定要先考查定义域．如y＝log2（x2－2x）先要考查x2－2x＞0，即x＜0或x＞2，然后再“同增异减”．利用定义法判断复合函数的奇偶性时，也要先考查函数的定义域，若关于原点对称，则应用定义，否则为非奇非偶函数．关于复合函数的研究还常用换元法等方法．［例］已知loga2＞logb2＞0，判断a、b的大小．分析：用图象法．解析：由两个函数值均大于0知a、b都大于1，作出两个底数大于1的对数函数y＝logax、y＝logbx的图象，找出横坐标2对应的两个函数值．由loga2＞logb2确定两个图象对应的解析式．由“底大头低”的规律知b＞a＞1．如2—15所示：4．在学习中，应继续充分运用互为反函数的两个函数的图象和性质的对应关系，由已掌握的指数函数的图象和性质，帮助学习理解对数函数的图象和性质，结合本节的学习，要进一步培养数形结合、分类讨论等数学思想方法的应用能力．Ⅱ．知识拓宽在前面我们已经学过原函数与反函数性质的一些对应关系，如：①原函数的定义域、值域、对应法则，分别是其反函数的值域，定义域，逆对应法则．②原函数的图象与其反函数的图象关于y＝x对称．③原函数增，反函数增；例y＝2x，y＝log2x原函数减，反函数减；例y＝（21）x，y＝x21log原函数是奇函数，反函数是奇函数；例y＝x3是奇函数，y＝31x是奇函数．原函数是偶函数，反函数不存在（f（x）＝a，x∈{0}除外）（以上所说，函数都在各自定义域上）如1．y＝1212xx的反函数是y＝log211xx（x1或x＜1）y＝1212xx是奇函数，y＝log211xx也为奇函数，证明f（x）＝log211xx为奇函数．证明：f（x）＝log211xx，f（－x）＝log211xx＝log211xx＝log2（11xx）－1＝－f（x）∴f（x）＝log211xx为奇函数．如2．f（x）＝lg（21x＋x）的反函数是y＝21010xx．f（x）＝lg（21x＋x）为奇函数，则y＝21010xx也为奇函数求证：f（x）＝lg（21x＋x）为奇函数．证明：f（－x）＋f（x）＝lg（21x－x）＋lg（21x＋x）＝lg（1＋x2－x2）＝0∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝lg（21x＋x）为奇函数．Ⅲ．障碍分析1．如何求指数函数、对数函数的反函数？［例1］求下列函数的反函数：（1）y＝3222xx，x∈（1，＋∞）;（2）y＝log2（x2－2x＋3），x∈（－∞，1］．解：（1）由y＝3222xx0，得x2－2x＋3＝log2y，即（x－1）2＝log2y－2．∵x1，∴x－1＝2log2y，x＝1＋2log2y;又当x1时，y＝3222xx＝2)1(22x＋24，故所求反函数为f－1（x）＝1＋2log2x（x4）．（2）由y＝log2（x2－2x＋3），得x2－2x＋3＝2y，即（x－1）2＝2y－2．∵x≤1，∴x－1＝－22y，x＝1－22y．又当x≥1时，y＝log2（x2－2x＋3）＝log2［（x－1）2＋2］≥1．故所求反函数为f－1（x）＝1－22x（x≥1）点评:①求反函数时要指出它的定义域，这可以通过研究原函数的值域来求．②主要按三步走：一求，二换，三定．2．如何求有关对数函数的定义域？［例2］求下列函数的定义域：（1）y＝log（x＋2）2322xx（2）y＝)(log14axa（3）y＝)61(log231xx解：（1）要使函数有意义，则.023212,022xxxx∴.221,1,2xxxx或故所求函数的定义域是（－2，－1）∪（－1，－21）∪（2，＋∞）．（2）要使函数有意义，则1－loga（x＋a）0，即loga（x＋a）＜1．若0＜a＜1，则x＋aa，∴x0;若a1，则0＜x＋a＜a，∴－a＜x＜0．因此，当a1时，所求定义域为（－a，0）;当0＜a＜1时，所求定义域为（0，＋∞）．（3）由已知得31log（1－x－6x2）≥0，∴0＜1－x－6x2≤1．解之，得－21＜x≤－61或0≤x＜31．故所求定义域为（－61,21］∪［0，31）．点评：求函数的定义域应注意以下问题：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零;③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零．如果在一个函数中数条并存，求交集．3．如何比较对数函数值的大小？［例3］比较下列各组数的大小．（1）3log45，2log23;（2）log0．20．1，0．20．1;（3）log20．4，log30．4，log40．4分析：一般地，我们可以利用函数的单调性来比较两个数的大小，关键是构造恰当的函数．解：（1）∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，又因为函数y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数，而12581，所以，3log452log23．（2）∵0＜0．2＜1，∴y＝log0．2x在（0，＋∞）上是减函数，log0．20．1log0．20．2＝1;又y＝0．2x在（－∞，＋∞）上是减函数，∴0．20．1＜0．20＝1，因此log0．20．10．20．1．（3）∵y＝log0．4x在（0，＋∞）上是减函数，∴log0．44＜log0．43＜log0．42＜0，于是2log13log14log14.04.04.0，即log40．4log30．4log20．4．点评：如果已知的数值是同一函数的不同函数值，则依单调性，立即可比较其大小．如果已知的数值不是同一函数的函数值，则应设法找到中介值（如（2）中的“1”），然后可比较之．（3）题也可以在同一坐标系中，考查函数y＝log4x，y＝log3x及y＝log2x的图象特征，从而得出结论．4．如何求有关对数复合函数的单调区间？求函数y＝82log221xx的递增区间．解：y＝82log221xx＝21log21（x2＋2x－8）令x2＋2x－80，得x＜－4或x2．由于对数函数的底21∈（0，1），所以u＝x2＋2x－8（u0）的单调递减区间就是y＝)82(log21221xx的递增区间．因为u＝x2＋2x－8的递减区间是（－∞，－4）（u0），所以y＝82log221xx的递增区间是（－∞，－4）．判断函数的单调性必须求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．注意：利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调性，一定要先考查定义域．利用定义法时注意作差、作商比较对象．Ⅳ．思维拓展将y＝2x的图象____________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2（x＋1）的图象．A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位精析：本题考查函数图象的平移变换和对称变换，同时考查指数函数和对数函数是互为反函数这一性质，加强了对逻辑思维能力的考查．本题有以下几种解题方法：方法一：与函数y＝log2（x＋1）的图象关于直线y＝x对称的曲线是反函数y＝2x－1的图象．为了得到它，只需将y＝2x的图象向下平移1个单位．方法二：在同一坐标系内分别作出y＝2x与y＝log2（x＋1）的图象，直接观察，即可得D．方法三：（0，0）点在函数y＝log2（x＋1）的图象上，（0，0）点关于y＝x对称的点还是它本身．函数y＝2x的图象向左或向右或向上平行移动都不会过（0，0）点，因此排除A、B、C，即得D．答案：D注：图象的几种基本变换：①平移变换:y＝f（x＋a），将y＝f（x）的图象向左（a0）或向右（a＜0）平移|a|个单位可得．如y＝log2（x＋1）的图象由y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位而得．②翻折变换：y＝|f（x）|，将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，其他部分不变．如y＝lgx和y＝|lgx|的图象．③对称变换：y＝－f（x），作y＝f（x）的图象关于x轴的对称图形即可．y＝f（－x），作y＝f（x）的图象关于y轴对称即可．y＝－f（－x），作y＝f（x）的图象关于原点的对称图形即可．Ⅴ．探究学习已知函数y＝loga（kx2＋4kx＋3）．（1）若函数的定义域为R，求k的取值范围；（2）若函数的值域为R，求k的取值范围．参考答案：分析：由于真数是一个二次三项式的形式，必须灵活运用二次函数、二次不等式的有关知识．解：（1）要使函数的定义域为R，只须对一切实数x下式恒成立：kx2＋4kx＋30其充要条件是k＝0或0341602kkk解得k＝0或0＜k＜43．故k的取值范围是［0，43）．（2）要使函数的值域为R，只需kx2＋4kx＋3能取得一切正数，则0121602kkk，解得k≥43故k≥43时函数值域为R．注意：第二问不容易理解．【同步达纲练习】一、选择题1．函数y＝1＋log2x（x≥4）的值域是A．［2，＋∞)B．（3，＋∞)C．［3，＋∞)D．（－∞，＋∞）2．下列各函数中在（0，2）上为增函数的是A．y＝21log（x＋1）B．y＝log212xC．y＝log3x1D．y＝31log（x2－4x＋5）3．函数y＝21log［（1－x）（x＋3）］的递减区间是A．（－3，－1）B．（－∞，－1）C．（－∞，－3）D．（－1，＋∞）4．已知函数y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是A．0＜a＜1B．a1C．1＜a＜2D．1＜a≤2二、填空题5．若0＜a＜1，下列不等式中，一定成立的是____________．①0．8a＜0．7a②a0．8＜a0．9③loga0．8＜loga0．9④0．8lga＜0．7lga6．函数y＝3lglg22xx的定义域和值域分别为____________．7．函数y＝ln（4＋3x－x2）单调递增区间是____________．三、解答题8．已知函数f（x）＝loga11xx（a0且a≠1）（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数的奇偶性和单调性；（3）求f（x）的反函数．9．已知x满足条件2（21logx）2＋921logx＋9≤0，求函数f（x）＝（log23x）·（log24x）的最大值和最小值．参考答案【同步达纲练习】1．C提示：∵x≥4，∴log2x≥2，即y≥3∴函数y＝1＋log2x（x≥4）的值域是［3，＋∞）2．D提示：设t＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1则y＝31logt由函数t＝x2－4x＋5在（0，2）上递减∴函数y＝31log（x2－4x＋5）在（0，2）上递增．3．A提示:设t＝（1－x）（x＋3）＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4由（1－x）（x＋3）＞0得－3＜x＜1当x∈（－3