2.5随机变量函数的分布

1.5随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布例1设随机变量X的概率分布为X-2-10123P0.050.150.200.250.20.15求Z=X2•若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得.一、离散型随机变量函数的分布解将X所有可能的取值一一代入函数Z的概率分布为Z=X20149P0.200.400.250.15例1设随机变量X的概率分布为X-2-10123P0.050.150.200.250.20.15求Z=X2的分布律X-2-10123P0.050.150.200.250.20.15Z411490首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值).21()(，，ixgyii如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为Yy1y2…yi…Pp1p2…pi…如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在121mkkk12()()()mkkkgxgxgxy则在Y的分布列中，取的概率为使121mikkmkkiPYyPXxPXxPXxp计算离散型随机变量函数的分布的方法：其他,0,)]([yyhfyhyfY定理设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x)，（－∞x+∞）,又函数y=g(x)处处可导，且严格单调，其反函数为x=h(y)，则Y=g(X)也是一连续型随机变量，且密度函数为1.公式法二、连续型随机变量函数的分布)}(),(max{)},(),(min{gggg其中，例2设X具有密度函数f(x)，求线性函数Y＝k1X＋k2的密度函数（k1，k2是常数且k1≠0）.其他,0,)]([yyhfyhyfY)}(),(max{)},(),(min{gggg其中，y=g(x)处处可导，严格单调，其反函数x=h(y)分析y=g(x)＝k1x＋k2处处可导，严格单调其反函数x=h(y)12kky)(yh11k,例2设X具有密度函数f(x)，求线性函数Y＝k1X＋k2的密度函数（k1，k2是常数且k1≠0）.其他,0,)]([yyhfyhyfY)}(),(max{)},(),(min{gggg其中，其反函数x=h(y)12kky)(yh11k||1)()(112kkkyfyfYy=g(x)处处可导，严格单调，其反函数x=h(y)其他,0,)]([yyhfyhyfY)}(),(max{)},(),(min{gggg其中，注意若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b]上有].)([)(00xgxg或)}(),(max{)},(),(min{bgagbgag其中，定理设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x)，（－∞x+∞）,又函数y=g(x)处处可导，且严格单调，其反函数为x=h(y)，则Y=g(X)也是一连续型随机变量，且密度函数为一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)分两个步骤：10根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y);20由fY(y)=F(y)求出fY(y)2.分布函数法二、连续型随机变量函数的分布例3对一圆片直径进行测量,其值在[5,6]上均匀分布,求圆片面积的概率密度.解设圆片直径的测量值为,X面积为,Y则有.42XY按已知条件,X的概率密度为其它,0]6,5[,1)(xxfX对于函数,4/2xy当]6,5[x时,,4/25}4/min{2x.9}4/max{2x例3对一圆片直径进行测量,其值在[5,6]上均匀分布,求圆片面积的概率分布密度.解对于函数,4/2xy当]6,5[x时,,4/25}4/min{2x.9}4/max{2x例3对一圆片直径进行测量,其值在[5,6]上均匀分布,求圆片面积的概率分布密度.解对于函数,4/2xy当]6,5[x时,,4/25}4/min{2x.9}4/max{2x于是9y1,9y/425*4/25,0)(yyF当9y/425时,}4/{}{)(2yXPyYPyF/4)(}/4{yXdxxfyXP例3对一圆片直径进行测量,其值在[5,6]上均匀分布,求圆片面积的概率分布密度.解当9y/425时,}4/{}{)(2yXPyYPyF/4)(}/4{yXdxxfyXP例3对一圆片直径进行测量,其值在[5,6]上均匀分布,求圆片面积的概率分布密度.解当9y/425时,}4/{}{)(2yXPyYPyF/4)(}/4{yXdxxfyXP5/410/455ydxdxy由于yyyFyfY/1)5/4()()(故随机变量Y的分布密度函数为.,094/25,/1)(其它yyyfY完