1978年全国高中数学联赛试题及解答

1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-1-1978年全国高中数学竞赛题一试题1．已知y=log121x+3，问当x为何值时，(Ⅰ)y0；(Ⅱ)y0？2．已知tanx=22(180°x270°)，求cos2x，cosx2的值．3．设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．7．证明：当n、k都是给定的正整数，且n2，k2时，n(n－1)k－1可以写成n个连续偶数的和．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．10．求方程组x+y+z=0，x3+y3+z3=－18的整数解．1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-2-二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG∙HF≤12(AB+CD)·12(AD+BC)．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的提桶需时Ti分钟，假定这些Ti各不相同，问：(Ⅰ)当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ)当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-3-1978年全国高中数学竞赛题解答一试题1．已知y=log121x+3，问当x为何值时，(Ⅰ)y0；(Ⅱ)y0？解：当x－3时，y=log2(x+3)，⑴x+31x－2时，y0；⑵0x+31，－3x－2时，y0．2．已知tanx=22(180°x270°)，求cos2x，cosx2的值．解：cos2x=1－(22)21+(22)2=－79；cosx=－11+tan2x=－13．cosx2=－1+cosx2=－33．3．设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．解：由已知c=b，故a=2c，a－c=10－5=5(2－1)=c(2－1)，∴c=5，a=10．所求椭圆方程为x210+y25=1．4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．解：设已知方程两根为x1，x2，则x1+x2=92，x1x2=4．所求方程两根为t1，t2，1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-4-t1=1x1+x2=29，t2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=814－16=174．∴所求方程为(x－29)(x－174)=0，即36x2－161x+34=0．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2的正四面体的高h=263．故所求高度=1+263+1=2+263．6．如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．证明：连NP，取AC中点O，则由于N、P分别为CD、BD中点，故NP∥AB，NP=12BC=12(AB－AC)=AM=AO=OM．∴NPMO为平行四边形．即PO经过MN中点Q．即直线PQ平分线段AC．7．证明：当n、k都是给定的正整数，且n2，k2时，n(n－1)k－1可以写成n个连续偶数的和．解：设开始的一个偶数为2m，则此n个连续偶数的和为(2m+…ADCBMNPQO1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-5-+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．令n(n－1)k－1=n(2m+n－1)，则(n－1)k－1－(n－1)=2m．无论n为偶数还是奇数，(n－1)k－1－(n－1)均为偶数，故m=12[(n－1)k－1－(n－1)]为整数．∴从(n－1)k－1－(n－1)开始的连续n个偶数的和等于n(n－1)k－1．由于n、k给定，故(n－1)k－1－(n－1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．解：设此三角形三个角为A、B、C，则其三边长分别为2sinA，2sinB，2sinC．本题即证明cosA+cosB+cosCsinA+sinB+sinC．由于A＋B90，故90A90－B0，sinAsin(90－B)=cosB，同理，sinBcosC，sinCcosA，三式相加，即得证．9．已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q(a，4a)，(a1)则直线PQ方程为y－4=4a－4a－6(x－6)，令y=0，得x=6－a－6a－1=5aa－1．∴S=12·5aa－1·4a=10a2a－1=10(a+1+1a－1)=10(a－1+1a－1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S取得最小值．1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-6-即所求点为Q(2，8)．10．求方程组x+y+z=0，x3+y3+z3=－18的整数解．解：x3＋y3＋z3－3xyz=(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)=0，故xyz=－6．故x=－3，y=1，z=2，等共6组解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD∥EF，作BG∥ED交AC于G，则AGAC=ABAE=ADAF，从而GD∥BC，即BCDG为平行四边形．P为BD中点，从而Q为EF中点．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=cos2π15＋isin2π15．∴(x3－1)(x12+x9+x6+x3+1)=x15－1=14∏k=0(x－εk)．而x3－1=(x－1)(x－ε5)(x－ε10)．EAQFDCBPG1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-7-故x12+x9+x6+x3+1=14∏k=0(k5，10)(x－εk)．⑵令x=cosθ，则5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ=5+8x+4(2x2－1)+4x3－3x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)2≥0在x≥－1时成立．3．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)解：令4x－3y=t，则此直线在x轴上的截距即为14t．分别以A、B、C的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x－3y的极大值为14，极小值为－18．4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG∙HF≤12(AB+CD)∙12(AD+BC)．证明：连EF、FG、GH、HE，取BD中点P，连EP、PG．易证S四边形EFGH=12S四边形ABCD．而S四边形EFGH=12EG∙HFsin∠EOF≤12EG∙HF．POHGFEBCDAB(-1,-6)C(-3,2)A(4,1)xOy1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-8-但EP=12AD，PG=12BC．EP+PG≥EG，故12(AD+BC)≥EG，同理，12(AB+CD)≥HF．故EG∙HF≤12(AB+CD)∙12(AD+BC)，从而，四边形ABCD的面积≤EG∙HF≤12(AB+CD)∙12(AD+BC)．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的提桶需时Ti分钟，假定这些Ti各不相同，问：(Ⅰ)当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ)当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T1+9T2+8T3+…+T10，若当1≤ij≤10时，TiTj，则其余人不动，交换第i个人与第j个人的次序，则所需时间改变量10T1+…+(11－i)Ti+…+(11－j)Tj+…+T10－(10T1+…+(11－i)Tj+…+(11－j)Ti+…)=(11－i)(Ti－Tj)+(11－j)(Tj－Ti)=(Tj－Ti)(i－j)0．即这样交换后，所需时间变少．∴应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T1T2…T10，则所需时间为10T1+9T2+8T3+…+T10．⑵设T1T2…T10，则安排T1、T3、T5、T7、T9在一个龙头，T2、1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-9-T4、T6、T8、T10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)．6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．则∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=6－2．∴34≤S△EFG≤23－3．EFGMABCD