2000年上海高考数学试题(文)

中小学教育资源交流中心年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．已知向量12OA、mOB,3，若ABOA，则m。2．函数xxy312log2的定义域为。3文．圆锥曲线1916)1(22yx的焦点坐标是。3理．圆锥曲线tan31sec4yx的焦点坐标是。4．若常数t满足|t|1,计算：)...1(lim12nnntttt。5．已知bxfx2)(的反函数为)(1xf，若)(1xfy的图象经过点)2,5(Q，则b。6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。（按：1999年本市常住人口总数约1300万）7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8．设函数)(xfv是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，)(xf=。9．在二项式11)1(x的展开式中，系数是小的项的系数为。（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。11文．图中阴影部分的点满足不等式组0,0625yxyxyx，在这些点中，使目标函数yxk86取得最大值的点的坐标是。11理．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线BA,cos4于两点，则中小学教育资源交流中心提供AB。12．在等差数列na中，若0na，则有等式),19(192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若10b，则有等式成立。二、选择题。13．函数])2,2[)(2sin(xxy是（A）增函数（B）减函数（C）偶函数（D）奇函数[答]（）14．设有不同的直线a、b和不同的平面a、、，给出下列三个命题：（1）若aa//，ab//，则ba//。（2）若aa//，//a，则//a。（3）若a，，则//a。其中正确的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3[答]（）15．若集合TSRxxyyTRxyySx则,,1|..3|2是（A）S（B）T（C）（D）有限集[答]（）16．下列命题中正确的命题是（A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则552sina。（B）同时满足23cos,21sinaa的角a有且只有一个。（C）当1||a时，)(arcsinatg的值恒正。（D）三角方程3)3(xtg的解集为Zkkxx,|。三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17．（本题满分12分）已知椭圆C的焦点分别为)0,22(1F和)0,22(2F，长轴长为6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。[解]中小学教育资源交流中心．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD的体积。19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数],1[,2)(2xxaxxxf。（1）当21a时，求函数)(xf的最小值。（2）若对任意],1[x，0)(xf恒成立，试求实数a的取值范围。20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。根据指令),(r)180180,0(r，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。中小学教育资源交流中心．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。在XOY平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111nnnbaPbaPbaP对每个自然数n，点nP位于函数)100()10(2000aayx的图象上，且点nP，点)0,(n与点)0,1(n构成一个以nP为顶点的等腰三角形（1）求点nP的纵坐标nP的表达式；（2）若对每个自然数n，以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设))((1Nnbgcnn，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列nc前多少项的和最大？试说明理由。22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知复数yixzmmiz),0(10和，其中yxyx,,,均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有zzw0，||2||zw。（1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式：（2）将（x、y）用为点P的坐标，(x、y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q。已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为)2,3(，试求点P的坐标；（3）若直线kxy上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值。[解]（1）[解]（2）[解]（3）中小学教育资源交流中心年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分。2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。3．第17题至第22题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。给分或扣分均以1分为单位。解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。1．42．)3,21(3．（－4，0），（6，0）4．2e5．16．97．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．x9．－46210．14111．（0，5）12．),17(172121Nnnbbbbbbnn二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。题号13141516代号CAAD三、（第17题至第22题）中小学教育资源交流中心．[解]设椭圆C的方程为12222byax…（2分）由题意3a，22c，于是1b。∴椭圆C的方程为1922yx…（4分）由19222yxxy得02736102xx因为该二次方程的判别0，所以直线与椭圆有两个不同交点。…（8分）设),(),,(2211yxByxA则51821xx，故线段AB的中点坐标为)51,59(…（12分）18．[解法一]如图建立空间直角坐标系，…（2分）由题意，有)0,2,0(A，)0,0,2(C，)0,1,1(E设D点的坐标为),0,0(z)0(z，则0.1.1BE，zAD,2,0…（6分）则2cos422zBEAD，且BEAD与所成的角的大小为1010arccos。∴10142cos22z，得4z，故BD的长度是4，…（10分）又BDBCABVABCD61，因此四面体ABCD的体积是38，…（12分）[解法二]过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角。∴∠DAF=1010arccos，…（4分）∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，中小学教育资源交流中心=2BE=22。…（6分）又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA，∴DF=DA…（8分）三角形ADF是等腰三角形，AD=BDBCABDAFAF61V20cos12ABCD故，…（10分）因此四面体ABCD的体积是38…（12分）19．[解]（1）当21a时，221)(xxxf，)(xf在区间[,1]上为增函数，…（3分）)(xf在区间[,1]上的最小值为27)1(f…（6分）（2）[解法一]在区间的[,1]上，02)(2xaxxxf的恒成立022axx恒成立，…（8分）设],1[,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增，∴当1x时，ay3min，…（12分）于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a…（14分）（2）[解法二]],1[.2)(xxaxxf，当0a时，函数)(xf的值恒为正，…（8分）当0a时，函数)(xf递增，故当1x时，03)(minaxf，…（12分）于是当且仅当03)(minaxf时，函数0)(xf恒成立，故3a…（14分）20．[解]（1）24r，45，中小学教育资源交流中心提供得指令为)45,24(，…（4分）（2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球…（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有,)40()4(2|17|22xx…（8分）即0161232xx得7323xx或。∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，∴7x故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，…（10分）所给的指令为)13.98,5(…（14分）21．[解]（1）由题意，21nan，21)10(2000nnab…（4分）[解]（2）∵函数xay)10(2000递减，∴对每个自然数n，有nb＞1nb＞2nb，则以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形的充要条件是2nb+1nb＞nb，即01)10()10(2aa，…（7分）解得)15(5)51(5aa或，∴10)15(5a…（10分）[解]（3）∵10)15(5a，∴7a，21)107(2000nnb，…（12分）于是7.01)21(213])107(2000[121gnggcnn,数列nc是一个递减的等差数列。中小学教育资源交流中心提供因此，当且仅当0nc，且01nc时，数列nc的前n项的和最大。由07.01)21(213gngcn，得8.20n，∴20n…（16分）22．[解]（1）由题设，2||