2000年全国高考文科数学试题及其解析

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式sinsin21cossinsinsin21sincoscoscos21coscoscoscos21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式lccS21台侧其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式hSSSSV31台体其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A={x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B={x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是()（A）11（B）10（C）16（D）15(2)在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()（A）23（B）－23i（C）3－3i(D)3+3i(3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是()(A)23(B)32(C)6(D)6(4)已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是()(A)若α、β是第一象限角，则cosαcosβ(B)若α、β是第二象限角，则tgαtgβ(C)若α、β是第三象限角，则cosαcosβ(D)若α、β是第四象限角，则tgαtgβ(5)函数y=－xcosx的部分图像是()(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于()（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元(D)1500～2800元(7)若ab1，P=balglg，Q=21(lga+lgb)，R=lg2ba，则()(A)RPQ(B)PQR(C)QPR(D)PRQ(8)已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数．当这两条直线的夹角在(0，12)内变动时，a的取值范围是()(A)(0，1)(B)(33，3)(C)(33，1)∪(1，3)(D)(1，3)(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()(A)221(B)441(C)21(D)241(10)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()(A)y=3x(B)y=－3x(C)y=33x(D)y=－33x(11)过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11等于()(A)2a(B)a21(C)4a(D)a4(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为()(A)321(B)21(C)21(D)421第II卷（非选择题90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.(13)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有___________种(用数字作答)奎屯王新敞新疆(14)椭圆14922yx的焦点为F1、F2，点P为其上的动点．当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是________________奎屯王新敞新疆(15)设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)21na—2nna+an+1an=0(n=1，2，3…)，则它的通项公式是an=_______________奎屯王新敞新疆(16)如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________________奎屯王新敞新疆(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)已知函数y=3sinx+cosx，x∈R．(Ⅰ)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(Ⅱ)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？(18)(本小题满分12分)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列nSn的前n项和，求Tn．(19)(本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD．(Ⅰ)证明：C1C⊥BD；(Ⅱ)当1CCCD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．(20)(本小题满分12分)设函数f(x)=12x－ax，其中a0．(Ⅰ)解不等式f(x)≤1；(Ⅱ)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间，0上是单调函数．(21)(本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)(22)(本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为118，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B(8)C(9)A(10)C(11)C(12)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252(14)5353x(15)n1(16)②③三、解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ)y=3sinx+cosx=2(sinxcos6+cosxsin6)=2sin(x+6)，x∈R——3分y取得最大值必须且只需x+6=k22，k∈Z，即x=k23，k∈Z．所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=3+2kπ，k∈Z}．——6分(Ⅱ)变换的步骤是：(1)把函数y=sinx的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6)的图像；——9分(2)令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+6)的图像；经过这样的变换就得到函数y=3sinx+cosx的图像．——12分(18)本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+21n(n－1)d．∵S7=7，S15=75，∴.7510515,721711dada——6分即.57,1311dada——8分解得a1=－2，d=1．∴12121211ndnanSn，∵2111nSnSnn，∴数列{nSn}是等差数列，其首项为－2，公差为21，∴nnTn49412．——12分(19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．(Ⅰ)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于O，连结C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD．又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D，∵DO=OB，∴C1O⊥BD，——3分但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴BD⊥平面AC1．又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD．——6分(Ⅱ)当1CCCD=1时，能使A1C⊥平面C1BD．证明一：∵1CCCD=1，∴BC=CD=C1C，又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D．∴三棱锥C－C1BD是正三棱锥．——9分设A1C与C1O相交于G．∵A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，∴C1G︰GO=2︰1．又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形C1BD的中心，∴CG⊥平面C1BD．即A1C⊥平面C1BD．——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C．——9分当11CCCD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C．BDBC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．——12分(20)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．(Ⅰ)解：不等式f(x)≤1即12x≤1+ax，由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a0．所以，原不等式等价于.0,1122xaxx即.021,02axax——3分所以，当0a1时，所给不等式的解集为{x|0≤x≤212aa}；当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．——6分(Ⅱ)证明：在区间，0上任取x1、x2，使得x1x2．f(x1)－f(x2)=112221xx－a(x1－x2)=1122212221xxxx－a(x1－x2)=(x1－x2)(11222121xxxx－a)．——9分∵11222121xxxx1，且a≥1，∴11222121xxxx－a0，又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以，当a≥1时，函数f(x)在区间，0上是单调递减函数．——12分(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为.3002003002,2000300tttttf，，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t－150)2+100，0≤t≤300．——4分(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)，即.