2000年考研数学一

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)=_____________.(2)曲面在点的法线方程为_____________.(3)微分方程的通解为_____________.(4)已知方程组无解,则=_____________.(5)设两个相互独立的事件和都不发生的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设、是恒大于零的可导函数,且,则当时,有(A)(B)(C)(D)(2)设为在第一卦限中的部分,则有(A)(B)(C)(D)(3)设级数收敛,则必收敛的级数为(A)(B)(C)(D)1202xxdx2222321xyz(1,2,2)30xyy12312112323120xaxaxaAB19ABBA()PA()fx()gx()()()()0fxgxfxgxaxb()()()()fxgbfbgx()()()()fxgafagx()()()()fxgxfbgb()()()()fxgxfaga22221:(0),SxyzazSS14SSxdSxdS14SSydSxdS14SSzdSxdS14SSxyzdSxyzdS1nnu1(1)nnnun21nnu2121()nnnuu11()nnnuu(4)设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为(A)向量组可由向量组线性表示(B)向量组可由向量组线性表示(C)向量组与向量组等价(D)矩阵与矩阵等价(5)设二维随机变量服从二维正态分布,则随机变量与不相关的充分必要条件为(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)求四、(本题满分5分)设,其中具有二阶连续偏导数具有二阶连续导数,求五、(本题满分6分)计算曲线积分,其中是以点为中心为半径的圆周取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有n1,,()mmnααn1,,mββ1,,mαα1,,mββ1,,mββ1,,mαα1,,mαα1,,mββ1(,,)mAαα1(,,)mBββ(,)XYXYXY()()EXEY2222()[()]()[()]EXEXEYEY22()()EXEY2222()[()]()[()]EXEXEYEY142esinlim().1exxxxx(,)()xxzfxygyyf,g2.zxy224LxdyydxIxyL(1,0),R(1),R0x,S其中函数在内具有连续的一阶导数,且求.七、(本题满分6分)求幂级数的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为的球体是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数在上连续,且试证:在内至少存在两个不同的点使十、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且,其中为4阶单位矩阵,求矩阵.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量(1)求与的关系式并写成矩阵形式:(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.2()()e0,xSxfxdydzxyfxdzdxzdxdy()fx(0,)0lim()1,xfx()fx113(2)nnnnxnR0,P0P0k()fx[0,]00()0,()cos0.fxdxfxxdx(0,)12,,12()()0.ffA*10000100,10100308A113ABABAEEB1625nnx,ny.nnxy11nnxynnxy11.nnnnxxyyA1241,11ηηA(3)当时,求十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为,求的数学期望和方差.十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命的概率密度为,其中为未知参数.又设是的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.111212xy11.nnxy(01)ppXX()EX()DXX2()2e(;)0xxfxx012,,,nxxxX