03投资者的效用函数

第二章第二节风险资产组合的有效边界允许卖空时的有效边界第三节有效边界的求解含做空的资产组合表示方法一、允许卖空且可以无风险借贷含做空的资产组合之例假设投资者有100元，他卖空价值900元的证券A，购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？.91011,101001000BAB解：含做空的资产组合练习题（42页）•假设投资者拥有１００元可以投资于证券Ａ和证券Ｂ。•投资者可以将资金全部投资于证券Ａ，获得１４元的收益，即１４％的收益率。•另一方面，投资者也可以卖空价值１０００元的证券Ｂ，购买价值１１００元的证券Ａ，则资产组合的期望收益为１５４元，•而借入证券Ｂ的成本为８０元，•因此，最初１００元的投资，可以获得７４元（１５４－８０）的收益，即期望收益率为７４％。•期望收益率从１４％增加到７４％，但是标准差也从６％增加到５７．２％，•试写出计算过程。.101111,111001100ABA解：][)1(][)]([BApREwRwEwRE0.74,%8)111(%1411)]11([pRE222212122)1()1(2)(2222203.0)111(03.0)06.0(5.0)111(11206.011)11(P0.32760.090.1980.435657.24%0.57240.3276p含做空的资产组合练习题（42页）最大化目标函数为：约束条件为：一、允许卖空且可以无风险借贷,11niiXPFPRRE)(maxPAFAFPRRERRE)()(练习题•考虑三种证券：•Ｃ公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为7%；•Ｓ公司的股票，平均收益率为8％，收益率的标准差为6％；•Ｕ公司的股票，平均收益率为18％，收益率的标准差为13％。•此外，假设Ｃ公司和Ｓ公司之间的相关系数为0.5，Ｃ公司和Ｕ公司之间的相关系数为0.3，Ｓ公司和Ｕ公司之间的相关系数为0.2。•最后假设无风险借贷利率为4％。•假设允许卖空且可以无风险借贷。•求切点资产组合G与有效边界。%.13%,18)(%;6%,8)(%;7%,10)(332211RERERE一、条件重述.2.0,3.0,5.03,23,12,14.0FR二、解方程：解题过程三、代入公式：第三章投资者风险偏好与最优资产组合第一节投资者的效用函数第一节投资者的效用函数0效用U100财富W100100100000例1考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的工作即使是不喜欢的，他仍会去干；（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就很可能不干了。一、效用一、投资者的效用资产组合A资产组合B情景1212期末财富（元）2000400018004000效用11.80.61.8概率0.50.50.40.6期望期望财富期望效用)()()]([2211WUpWUpWUEPPP效用最大化准则投资者会选择组合Ｂ，而放弃组合Ａ。2211][WpWpWE300031201.41.320效用U100财富W100100100000（一）效用函数的一阶导数为正随着财富增加，效用也将增加。非饱和性：)1()(XUXU0)(XU二、效用函数的性质（二）效用函数随投资者风险偏好而变化表３-２一个等价变量称变量X为等价变量。等价变量：X随机变量y确定性量)()]([yUXUE也称变量y为X的确定性等价量。二、效用函数的性质1１．风险厌恶型投资者的效用函数风险厌恶意味着投资者将拒绝一个等价变量。表３-２一个等价变量如果以U(W)表示效用函数，U″(W)表示效用函数的二阶导数，风险厌恶意味着U″(W)0。√２．风险中性型投资者的效用函数风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一个等价变量不影响投资者的决策。对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为０表３-２一个等价变量√√３．风险偏好型投资者的效用函数风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。表３-２一个等价变量√效用函数的二阶导数为正风险偏好类型总结表３-３投资者风险态度与效用函数投资者财富增加风险投资增加？固定绝对风险厌恶不变增加递减绝对风险厌恶减少递增绝对风险厌恶（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度投资者的绝对风险厌恶程度（３-４）表３４绝对风险厌恶相对于财富的变化绝对风险厌恶程度的度量（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度投资者财富增加风险投资比例增加？固定相对风险厌恶不变增加递减相对风险厌恶减少递增相对风险厌恶投资者相对风险厌的恶度上式对财富W的一阶导数是R′(W)。表３５随财富变化的相对风险厌恶相对风险厌恶程度的度量三、效用函数与资产组合选择一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即：它的一阶和二阶导数为：对W的限制：在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度的函数式及它们的一阶导数将为：二次型效用函数对应的厌恶度二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。如果投资的收益率服从正态分布（即满足马科维茨均值—方差分析假设条件），同时投资者效用函数为二次型，那么不论投资者的风险偏好程度如何，他们在资产组合的有效边界（有效集）中总能确定一个最优资产组合。二次型效用函数与均值—方差模型的关系第二节效用无差异曲线与最优资产组合一、资产组合效用函数的类型二、期望效用无差异曲线三、最优资产组合的选择一、资产组合效用函数的类型（一）凸性效用函数投资收益率的边际效用递减一、资产组合效用函数的类型（二）凹性效用函数投资收益率的边际效用递增一、资产组合效用函数的类型（三）线性效用函数投资收益率的边际效用不变。二、期望效用无差异曲线不同类型的无差异曲线三、最优资产组合的选择0)(PRE分离定理一、对风险资产组合的选择二、选择包含无风险资产的资产组合的有效边界FRG●三、无差异曲线将决定最优资产组合的具体位置。*P●●风险资产组合有效边界包含无风险资产的组合的有效边界切点组合（市场组合）无差异曲线确定了具体的位置第三节其他最优资产组合选择方法一、几何平均收益率方法二、安全第一方法一、几何平均收益率方法（一）几何平均收益率的计算1、一个资产组合的几何平均收益率假设某个资产组合的收益率如下：情景12…N-1N收益率R1R2…RN-1RN概率P1P2…PN-1PN则这个资产组合的几何平均收益率定义为：1)1()1()1()1(121121NNPNPNPPGRRRRR当NPi1时，1)1()1()1()1(/1/11/12/11NNNNNNGRRRRR1)1)(1()1)(1(121NNNRRRR几何平均收益率的计算例题假设某个资产组合的收益率如下：情景123收益率0.60.31.2概率0.50.20.3解：这个资产组合的几何平均收益率为：1)1()1()1(321321PPPGRRRR1)2.11()]3.0(1[)6.01(3.02.05.011.26690.93111.264949.21%0.4921试计算其几何平均收益率。（一）几何平均收益率的计算2、多个资产组合P的几何平均收益率假设第j个资产组合的收益率如下：情景12…N-1N收益率R1,jR2,j…RN-1,jRN,j概率P1,jP2,j…PN-1,jPN,j则第j个资产组合的几何平均收益率定义为：1)1()1()1()1(,,1,2,1,,1.2,1,jNjNjjPjNPjNPjPjjGRRRRR当NPji1,时，1)1()1()1()1(/1,/1,1/1,2/1,1,NjNNjNNjNjjGRRRRR1)1)(1()1)(1(,,1,2,1NjNjNjjRRRR几何平均收益率的计算例题下面举例说明。表３—６给出了三种可能的投资——证券Ａ、证券Ｂ和证券Ｃ；每种投资都有两种可能的结果，每种可能性相同；该组合中这三种证券比例相等。)5.0(,jiP)3/1(CBA试计算并比较各个资产与资产组合的几何平均收益率。,5.0,jiP.3/1CBA在第一种情景下，资产组合收益率为：167.03/1)20.0(3/1)10.0(3/180.01PR在第二种情景下，资产组合收益率为：20.03/160.03/130.03/130.02PR183.01)20.01()167.01(5.05.0,PGR资产组合的几何平均收益率为：1)1()1(5.025.01PPGPRRR计算资产组合的几何平均收益率,5.0,jiP.3/1CBA)]30.0(1[)80.01(5.05.0,AGR0.0821)30.01()]10.0(1[5.05.0,BGR0.1311)60.01()]20.0(1[5.05.0,CGR计算各个资产的几何平均收益率资产组合的收益率高于任一单个证券的收益率（二）几何平均收益率方法的运用运用几何平均收益率法选择最优资产组合，最简单的办法就是从各种投资方案中选择最高几何平均收益率的资产组合。几何平均收益率方法不可能挑选一个收益率可能为负的投资组合，从而可极大程度地排除非有效组合和不适宜的有效组合。我们把这种特性称为“有效集中”。使用几何平均收益率方法选择的最优资产组合通常是一个分散化的组合。在收益率是正态分布或对数正态分布条件下，可以证明几何平均收益率最大化的组合是均值—方差有效的。二、安全第一方法（一）罗伊标准（Ｒｏｙ）（二）卡陶卡标准（Ｋａｔａｏｋａ）（三）特尔瑟标准（Ｔｅｌｓｅｒ）（一）罗伊标准罗伊定义：最优资产组合是收益率低于某一特定水平的可能性最小的组合。其中：RP表示组合收益率，RL表示投资者可接受的最低收益率水平。罗伊的选择标准是：)(obPrminPLRR（3-23）如果RL是收益率的“破产警戒线”，则罗伊标准就是看谁破产的可能性最小。-3-2-2368%95%99.7%正态曲线的特征xx资产组合投资收益率是正态分布的情况标准差=σ均值=μ1xx标准差=σ均值=μ2xx资产组合投资收益率是正态分布的情况RPRL的概率远近小大··高于最低收益率水平低于最低收益率水平RPRL的概率RL：可接受的最低收益率水平LRLR罗伊标准（极小化形式）PPLRRmin罗伊标准（极大化形式）PLPRRmax1%5%10%5:PPLRRA1PLRR25.2%4%14%5:PPLRRB25.2PLRR5.1%8%17%5:PPLRRC5.1PLRR三个可行的资产组合中，组合Ｂ是最优的根据罗伊标准选择资产组合%5LR（二）卡陶卡标准限制条件是收益率小于或等于下限的概率不超过预先规定的值，即：限制条件为：例如，某个资产组合的收益率满足如下条件：%,5)0(ProbPR%,5)(Prob0cRcP时，当则0就是该资产组合收益率的最大化下限。.)(ProbLPRRLRmax卡陶卡标准：最大化下限在卡陶卡标准下资产组合的选择假设=5%，资产组合A，B的最大化下限分别为：.03.0,0)()(BLALRR试问：在卡陶卡标准下应该选择哪个资产组合？%,5)0(Prob)(APR解：%,5)03.0(Prob)(BPR%,5)03.0(Prob)0(Prob)()(BPBPRR所以，在卡陶卡