2001年全国高中数学联赛试题4

二○○一年全国高中数学联合竞赛试题（10月14日上午8：009：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用圆珠笔或钢笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定【答】（）2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答】（）3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|【答】（）4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=（B）0k≤12（C）k≥12（D）0k≤12或k=【答】（）5．若的展开式为，则的值为（A）（B）（C）（D）【答】（）6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆的短轴长等于．8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是．10.不等式的解集为．11．函数的值域为．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1a2），又．试求{an}的首项与公差．14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．⑴求实数m的取值范围（用a表示）；⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1a2a3a4a5a6)的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月14日上午10：0012：00）考生注意：(1)本试卷共三大题，全卷满分150分．(2)卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第4页、第6页是空白页，留作答题用．(3)用圆珠笔或钢笔作答．(4)解题书写不要超出装订线．一．（本题满分50分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．二．（本题满分50分）设（i=1，2，…，n）且，求的最大值与最小值．三．（本题满分50分）将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝21(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC2－MH2＝AC2－AH2①∵BE⊥NA∴NB2－NH2＝AB2－AH2②∵DA⊥BC∴BD2－CD2＝BA2－AC2③∵OB⊥DF∴BN2－BD2＝ON2－OD2④∵OC⊥DE∴CM2－CD2＝OM2－OD2⑤……………………………………30分①－②＋③＋④－⑤，得NH2－MH2＝ON2－OM2MO2－MH2＝NO2－NH2∴OH⊥MN……………………………………………………………………50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则bakcakABAC,∴直线AC的方程为)(cxcay，直线BE的方程为)(bxacy由)()(cxcaybxacy得E点坐标为E(2222222,caabcaccabcca)同理可得F(2222222,baabcabbacbba)直线AC的垂直平分线方程为)2(2cxacay直线BC的垂直平分线方程为2cbx由2)2(2cbxcxacay得O(aabccb2,22)bcaacabcbbaabcabkabacabcbcbaabckDFOB222222,22∵1DFOBkk∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程)(bxacy中令x＝0得H(0，abc)∴acabbcacbabcaabckOH32222直线DF的方程为xbcaacaby2由)(2cxcayxbcaacaby得N(22222222,2cbcaacabccbcabcca)同理可得M(22222222,2bbcaababcbbcacbba)∴bcaacabbcabcabcbcacbakMN3)3)()(())((222222∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．二．解：先求最小值，因为niinjkjkniiniixxxjkxx11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴niix1最小值为1．……………………………………………………………10分再求最大值，令kkykx∴nknjkjkkykyky11212①设nknkkkykxM11，令nnnnayayyayyy22121则①⇔122221naaa……………………………………………………30分令1na＝0，则nkkkaakM11)(nknknknknkkkkkkakkakakakak111111)1(1由柯西不等式得：212121])1([)(])1([121212nknkknkkkakkM等号成立⇔222221)1()1(1nnakkaank222222221)1()1()12(1kkannaaakn21])1([112nkkkkkka(k=1，2，…，n)由于a1≥a2≥…≥an，从而0])1([)11(221121nkkkkkkkkkaay，即xk≥0所求最大值为21])1([12nkkk……………………………………………50分三．解：记所求最小值为f(m，n)，可义证明f(m，n)＝rn＋n－(m，n)(*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数……………………………………………10分事实上，不妨没m≥n(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)当用m＝1时，命题显然成立．假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n)……………………………………20分(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m＝1时，由于n＝1，显然f(m，n)＝rn＋n－(m，n)假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f(m，n)＝rn＋n－(m，n)若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f(m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap不妨a1≥a2≥…≥ap显然a1＝n或a1＜n．若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和．所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)AA1BCD1Dmn若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap的正方形，由归纳假设a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)于是当rn＝k＋1时，f(m，n)≥rn＋n－(m，n)再由(1)可知f(m，n)＝rn＋n－(m，n)．…………………………………………50分