2001年考研数学一

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2),则=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:＝_____________.(4)设,则=_____________.(5),则根据车贝晓夫不等式有估计_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则的图形为(A)(B)(C)(D)(2)设在点的附近有定义,且则(A)e(sincos)(,xyaxbxab222zyxr(1,2,2)div(grad)r0112),(ydxyxfdy24AAEO1(2)AE()2DX}2)({XEXP)(xf)(xfy)(xfy),(yxf(0,0)1)0,0(,3)0,0(yxff(0,0)|3dzdxdy(B)曲面在处的法向量为(C)曲线在处的切向量为(D)曲线在处的切向量为(3)设则在=0处可导(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在(4)设,则与(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷次,以和分别表示正面向上和反面向上的次数,则和相关系数为(A)-1(B)0(C)(D)1三、(本题满分6分)求.四、(本题满分6分)设函数在点可微,且,,求.五、(本题满分8分)),(yxfz(0,0,(0,0))f{3,1,1}(,)0zfxyy(0,0,(0,0))f{1,0,3}(,)0zfxyy(0,0,(0,0))f{3,0,1}0)0(f)(xfx20(1cos)limhfhh0(1e)limhhfh20(sin)limhfhhhhhfhfh)()2(lim01111400011110000,1111000011110000ABABnXYXY122arctaneexxdx),(yxfz(1,1)3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(yxfff)),(,()(xxfxfx13)(xxdxd设,将展开成的幂级数,并求的和.六、(本题满分7分)计算,其中是平面与柱面的交线,从轴正向看去为逆时针方向.七、(本题满分7分)设在内具有二阶连续导数且.证明:(1)对于,存在惟一的,使=+成立.(2).八、(本题满分8分)设有一高度为为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系,,其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足.(1)记求使.(2)计算行列式.()fx21arctan010xxxxx)(xfx1241)1(nnn222222()(2)(3)LIyzdxzxdyxydzL2zyx1yxZ,L)(xf(1,1)0)(xf)1,0()0,1(x)1,0()(x)(xf)0(f))((xxfx5.0)(lim0xxtth)(()()(2)(22thyxthz12,,,sαααAXO1112221223121,,,ssttttttβααβααβαα21,tt21,tt12,,,sβββAXOAx2,,AAxxx3232AAAxxx2(,,),PAAxxxB1APBPAE十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立.为中途下车的人数,求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率.(2)二维随机变量的概率分布.十二、(本题满分7分)设抽取简单随机样本样本均值,,求X(0)(01),ppYnm(,)XY2~(,)XN122,,,(2),nXXXnniiXnX2121niiniXXXY12)2(().EY