2001考研数学一真题

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、设baxbxaeyx,)(cossin(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.2、222zyxr，则div（gradr）)2,2,1(=_____________.3、交换二次积分的积分次序：0112),(ydxyxfdy＝_____________.4、设OEAA42，则1)2(EA=_____________.5、D（X）=2，则根据车贝晓夫不等式有估计}2)({XEXP_____________.二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图形如右图所示：则)(xfy的图形为()2、设),(yxf在点（0，0）的附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(yxff则()(A)dz|（0，0）=3dx+dy；(B)曲面),(yxfz在（0，0，)0,0(f）处的法向量为{3，1，1}；(C)曲线0),(yyxfz在（0，0，)0,0(f）处的切向量为{1，0，3}(D)曲线0),(yyxfz在（0，0，)0,0(f）处的切向量为{3，0，1}3、设0)0(f则)(xf在x=0处可导()(A)20cosh)1(limhfh存在；(B)hefhh)1(lim0存在；(C)20sinh)(limhhfh存在；(D)hhfhfh)()2(lim0存在．4、设0000000000000004,1111111111111111BA，则A与B()(A)合同且相似；(B)合同但不相似；(C)不合同但相似；(D)不合同且不相似．5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y相关系数为：()(A)-1；(B)0；(C)1/2；(D)1．三、（本题满分6分）求dxeexx2arctan．四、（本题满分6分）设函数),(yxfz在点（1，1）可微，且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(yxfff，)),(,()(xxfxfx，求13)(xxdxd．五、（本题满分8分）设)(xf=001arctan21xxxxx将)(xf展开成x的幂级数，并求1241)1(nnn的和．六、（本题满分7分）计算dzyxdyxzdxzyIL)3()2()(222222，其中L是平面2zyx与柱面1yx的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向七、（本题满分7分）设)(xf在（-1，1）内具有二阶连续导数且0)(xf证明：１．对于)1,0()0,1(x，存在惟一的)1,0()(x，使)(xf=)0(f+))((xxfx成立；２．5.0)(lim0xx．八、（本题满分8分）设有一高度为tth)((为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程)()(2)(22thyxthz（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？九、（本题满分6分）设s,,,21为线性方程组AX=O的一个基础解系，1213221222111,,,ttttttss，其中21,tt为实常数试问21,tt满足什么条件时s,,,21也为AX=O的一个基础解系十、（本题满分8分）已知三阶矩阵A和三维向量x，使得xAAxx2,,线性无关，且满足xAAxxA23231.记P=（xAAxx2,,），求B使1PBPA；2.计算行列式EA十一、（本题满分7分）设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（０＜p＜１），且中途下车与否相互独立．Y为中途下车的人数，求：１．在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；２．二维随机变量（X，Y）的概率分布．十二、（本题满分7分）设X~N（2,），抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n（n≥2），样本均值niiXnX2121，niiniXXXY12)2(求E（Y）．