2011年10月线性代数自考04184试题和参考答案

全国2011年10月自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵A的行列式为2，则12A()A.-1B.14C.14D.12.设212()222122,323235xxxfxxxxxxx则方程()0fx的根的个数为（）A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若,AB则必有（）A.0AB.0ABC.0AD.0AB4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）A.222()2ABAABBB.22()()ABABABC.()()()()AEAEAEAED.222()ABAB5.设111213212223313233,abababababababababA其中0,0,1,2,3,iiabi则矩阵A的秩为（）A.0B.1C.2D.36.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（）A.0B.2C.3D.47.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）A.-10B.-42C.3D.108.已知线性方程组1231231243224xxxxaxxxax无解，则数a=()A.12B.0C.12D.19.设3阶方阵A的特征多项式为2(2)(3),EA则A()A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵()ijaA是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式304222,532D其第3行各元素的代数余子式之和为__________.12.设,,aabbaabbAB则AB__________.13.设A是4×3矩阵且103()2,020,103rAB则()rAB__________.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组123123123000xxxxxxxxx有非零解，且数0,则__________.17.设4元线性方程组xAb的三个解α1，α2，α3，已知T1(1,2,3,4),T23(3,5,7,9),r()3.A则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且250,AA则A的全部特征值为__________.319.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12,2x则数a=__________.20.设实二次型T123(,,),fxxxxxA已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵2323(,2,3),(,,),AB其中23,,,均为3维列向量，且18,2.AB求.AB22.解矩阵方程11101110221011.1104321X23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组1231231232124551xxxxxxxxx,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为11及21,3方阵2.BA（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型2221231231223(,,)22412fxxxxxxxxxx为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明0.A456