梯形的性质和判定

19.3梯形的性质上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?只有一组对边平行的四边形,叫做梯形。上底下底腰腰底角底角高回顾:什么叫梯形?CABD观察AD∥BCC一腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。CD⊥BCABCD观察AD∥BCCAB=CD两腰相等的梯形叫做等腰梯形。二.做一做：步骤：1.在方格纸上画一个等腰梯形ABCD；2.连结对角线AC、BD；3.过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线；4.将等腰梯形ABCD沿直线EF对折.你发现了什么？ADBCEF翻折等腰梯形有什么性质？等腰梯形的性质：轴对称图形.两底边平行，两腰相等.同一底边上的两个内角相等.等腰梯形的两条对角线相等.合作探究:对称轴——两底中点所在直线（1）对称性（2）边（3）角（4）对角线BCADO议一议如图，四边形ABCD是等腰梯形，将腰AB平移到DE的位置ABCDE（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？平行四边形ABED和等腰三角形DEC（2）图中有哪些相等的线段，相等的角？AB=DE=CDAD=BE∠ABE=∠DEC=∠DCE=∠ADE∠BAD=∠ADC=∠DEB===//1、有一组对边平行的四边形是梯形()2、等腰梯形的两个底角相等()3、等腰梯形的两条对角线相等()××√一、判断１、对于等腰梯形，下列结论错误的是()A.只有一组相等的对边B.只有一对相等的内角C.只有一条对称轴D.两条对角线相等B２、有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．等腰梯形或直角梯形D．一般梯形C二、选择例1.如图,延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD,相交于点E.试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形.ABCDE解:在等腰梯形ABCD中,∠B=∠C(等腰梯形同一底边上的两个内角相等)∴EB=EC(等角对等边)∴△EBC是等腰三角形.又∵AB=CD∴EA=ED∴△EAD是等腰三角形.知识应用例2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA．已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长．ABCDE解:在等腰梯形ABCD中，CB＝DA＝6．又∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE＝DA＝CB＝6，AE＝DC＝5(平行四边形的对边相等)，∴EB＝AB-AE＝8-5＝3．于是△CEB的周长为CE+EB+BC＝6+3+6＝15．练一练1.梯形ABCD中,如果DC∥AB,AD=BC,∠A=60°,DB⊥AD.(1)∠DBC=,∠C=;(2)CD和BC相等吗?为什么?30°120°DCBA2.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,E是DC延长线上的一点,BE=BC,试说明∠A和∠E的关系.EDCBA拓展练习在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=60°,AD=10,AB=14,求BC的长.ABCDE1.梯形的定义及类型：只有一组对边平行四边形梯形直角梯形等腰梯形2.等腰梯形的性质(1)边：两底平行,两腰相等AD∥BC,AB=CD(2)角：同一底边上的两个内角相等∠A=∠D,∠B=∠C(3)对角线：对角线相等AC=BD(4)对称性：轴对称图形ABCDABDCABDC33ABDC88在四边形ABCD中，AB∥CD，但AB≠CD的条件下，老师说下列四个图形都是等腰梯形，你相信吗?ABDC60°60°等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形。1、定义判定：ABDC33∵AB∥CD，AB≠CD∴四边形ABCD是梯形又∵AD=BC=3∴四边形ABCD是等腰梯形梯形的证明四边形ABCD中，AB∥CD，但AB≠CD的条件下，右图是等腰梯形吗?等腰梯形的判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。2、判定定理：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，求证：四边形ABCD是等腰梯形。ADBC证明：过点D作DE∥AB交BC于点E∵DE∥AB∴∠1＝∠B.又∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED为平行四边形.∴AB＝DE∴DC＝DE∴∠1＝∠C又∵∠B＝∠CE1∴AB＝DC∴四边形ABCD为等腰梯形.过点D作DE∥AB交BC于点E平移一腰是梯形常用的辅助线。等腰梯形的判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。2、判定定理：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，求证：四边形ABCD是等腰梯形。ADBCE延长两腰BA、CD相交于点E过顶点作高线是梯形常用的辅助线。过点A作AE⊥BC于点E过点D作DF⊥BC于点FADBCEF延长两腰是梯形常用的辅助线。ABDCABDC33ABDC88在四边形ABCD中，AB∥CD，但AB≠CD的条件下，老师说下列四个图形都是等腰梯形，你相信吗?ABDC60°60°两腰相等的梯形是等腰梯形。在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。不能确定BADCO例1、求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，求证：四边形ABCD是等腰梯形∴梯形ABCD是等腰梯形∴∠ACB＝∠DBC.又∵AC=BD在△ABC和△DCB中AC＝DBBC＝CB∴AB＝DC∠ACB＝∠DBC.∴△ABC≌△DCB(SAS)E平移一对角线是梯形常用的辅助线。证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED为平行四边形.∴AC＝DE，∠ACB=∠E∴∠E＝∠DBC.∴BD＝DE梯形中常用的辅助线想一想1、如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2,BC=4,高DF=2，求腰的长.2ABCDF42ADFBCE1E2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠1=∠2。求证：四边形ABCD是等腰梯形。BC证明：过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E得到平行四边形ACED。∴AC∥DE且AC=DE∴∠2=∠E∵∠1=∠2∴∠1=∠E∴DB=DE∴AC=DB∴四边形ABCD是等腰梯形。（两条对角线相等的梯形是等腰梯形）AD12EEABCD例2、如图，梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE=DC，∠A=120°，求梯形的其他三个内角的度数。∴梯形ABCD是等腰梯形又∵∠A＝120°又∵DE=DC∴AB＝DC解：∵BC∥AD，DE∥AB∴四边形ABED为平行四边形.∴AB＝DE∴∠B＝∠C，∠A＝∠ADC，∴∠A＝∠ADC=120°又∵BC∥AD∴∠B＝∠C=180°-∠A＝60°故梯形的其他三个内角的度数分别为：60°、60°、120°.DCBA2.已知梯形的上底为8cm，下底为15cm，一腰长为6cm，求另一腰x的取值范围。8615XE768延伸拓展1＜x＜13课后作业:P111习题16.31、2DCBA返回E将AB平移到DE的位置则DE∥AB,且DE=AB=CD∴∠DEC=∠B,∠DEC=∠C∴∠B=∠CABCD返回DCBAE返回如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t.当t为何值时，四边形PQCD①是平行四边形？②是等腰梯形？QPDCBA综合应用