2002年陕西省数学中考试题及答案

陕西省2002年初中毕业升学考试数学试题一、选择题（本大题12小题，每小题2分，共24分．每小题只有一个选项是正确的）1．气温是零下3摄氏度，记作（）A．－3B．3C．－3℃D．3℃2．下列计算中，正确的是（）A．2a3·3a2＝6a6B．6632C．2a3＋a2＝3a5D．1233．我国的国土面积为9596960千米2，按四舍五入精确到万位，则我国的国土面积约为（）A．9597万千米2B．959万千米2C．960万千米2D．96万千米24．若∠＝79°25′，则∠的补角是（）A．100°35′B．11°35′C．100°75′D．101°45′5．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A．211B．1.4C．3D．26．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝6，则△ABC外接圆的半径为（）A．32B．33C．3D．37．如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长为（）A．5cmB．10cmC．12cmD．15cm8．如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过⊙O作⊙O′的两条切线OA、OB、A、B、是切点，则∠AOB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个距形（如图②），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）（第9题图①）（第9题图②）A．a2－b2＝（a＋b）（a－b）B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2D．（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b210．不等式组xxx21,32的解集是（）A．2331xB．23xC．x＞1D．231x11．抛物线y＝2x2＋4x－3的顶点坐标是（）A．（1，－5）B．（－1，－5）C．（－1，－4）D．（－2，－7）12．如图，△ABC是不等边三角形DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同．．．．的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形可以画出（）A．2个B．4个C．6个D．8个二、填空题（本大题8小题，每空3分，共27分）13．计算：1223＝__________．14．已知y与x成反比例，并且当x＝2时，y＝－1，则当y＝21时x的值是__________．15．某班50名学生的年龄统计结果如下表所示：年龄13141516人数422231这个班学生年龄的众数是____，中位数是______．16．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是______．17．⊙O的半径为4cm，以O为圆心的小圆与⊙O组成的面积等于小圆的面积，则这个小圆的半径是______cm．18．如图，在距形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE．若AD＝12cm，AB＝7cm，且AE∶EB＝5∶2，则阴影部分EBFD的面积为______cm2．19．如图，⊙O1的半径O1A是⊙O2的直径，C是⊙O1上的一点，O1C交⊙O2于点B．若⊙O1的半径等于⊙O2的5cm，的长等于⊙O1周长的101，则AB的长是______cm．20．王老师在课堂上出了一个二元方程x＋y＝xy，让同学们找出它的解，甲写出的解是xyx0，乙写出的解是22yx，你找出的与甲、乙不相同的一组解是．．．．．．．．三、解答题（本大题8小题，共69分．解答应写出过程）21．（本题满分8分，每小题4分）（1）计算2°＋2sin45°－121．解：（2）化简22222121aaaaaa．解：22．（本题满分7分）用换元法解方程x2－3x－1＝xx3122．解：23．（本题满分8分）已知直线y＝2x＋1．（1）求已知直线y轴交点A的坐标；（2）若直线y＝kx＋b与已知直线关于y轴对称，求k与b．解：24．（本题满分8分）如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个点分别在AB、BC、AC边上．（1）试协助工人师傅用尺画出裁割线（不写作法，保留作图痕迹）；（2）工人师傅测得AC＝80厘米，BC＝120厘米，请帮助工人师傅算出按（1）题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：25．（本题满分8分）某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m件．为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润（销售利润＝销售价－成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？解：26．已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E．（1）求证：BE·BF＝BD·BC；（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．27．（本题满分10分）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）．（第27题图①）（第27题图②）（第27题图③）（第27题图④）解答问题：（1）设图②中矩形ABCD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_____S2（填“＞”，“＝”或“＜”）．……………………………………………………………………（2分）（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_____个，利用图③把它画出来．……………………………………（4分）（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那符合要求的矩形可以画出____个，利用图④把它画出来．……（7分）（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？解：28、（本题满分10分）如图，已知点A（tan，0），B（tan，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．（1）若二次函数y＝－x2－25kx＋（2＋2k－k2）的图象经过A、B两点，求它的解析式；（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．陕西省2002年初中毕业升学考试数学试卷答案及评分标准一、选择题（本大题12小题，每小题2分，共24分，每小题只有一个选项是正确的）1．C2．B3．C4．A5．D6．A7．B8．C9．A10．D11．B12．B二、填空题（本大题8小题，每空3分，共27分）13．－114．－415．151416．100°17．2218．2419．π20．如：；＝，＝233yx或；＝－，＝121yx…1,mmymx＝＝（m≠0，1，2）三、解答题（本大题8小题，共69分．解答应写出过程）21．（本题满分8分，每小题4分）（1）解：原式＝1＋2×22－（2－1（3分）＝2（4分）（2）解：原式＝2222121aaaaa（2分）＝22222222aaaaaaa（4分）22．（本题满分7分）解：设x2－3x＝y，则原方程化为y2－y－12＝0（2分）解这个方程，得y＝－3或y＝4（4分）当y＝－3时，有x2－3x＋3＝0，无解（5分）当y＝4时，有x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1．（6分）经检验：x1＝4，x2＝－1是原方程的根．所以，原方程的根为x1＝4，x2＝－1．（7分）23．（本题满分8分）解：（1）令x＝0，y＝2×0＋1＝1（2分）直线与y轴交点A的坐标为（0，1）．（3分）（2）∵直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋1关于y轴对称，∴两直线的交点为A（0，1）．∴b＝1．（5分）在直线y＝2x＋1上到一点B（1，3），则点B关于y轴的对称点B（－1，3）在直线y＝kx＋b上．∴3＝－k＋1．∴k＝－2（8分）24．（本题满分8分）（1）如图所示，线段DE、EF即为裁剪线．（4分）（2）解：设这个正方形零件的边长为x厘米，∵DE∥AC，∴BCBDACDE．∴12012080xx．（7分）解得x＝48（厘米）．答：这个正方形零件的边长为48厘米．（8分）25．（本题满分8分）解：设该产品每件的成本价应降低x元（1分）根据题意，得［510×（1－4%）－（400－x）］×（1＋10%）m＝（510－400）m（5分）∴x＝10.4（元）（7分）答：该产品每件的成本价应降低10.4元．（8分）26．（本题满分10分）解：（1）连结FC，则BF⊥FC．在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC．（3分）∴BFBDBCBE即BE·BF＝BD·BC．（5分）（2）BE＞BD．（6分）连结AC、AB，则∠BAC＝90°∵＝，∴∠1＝∠2．（7分）又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°∵∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AE＝BE．（9分）在Rt△EBD中，BE＞BD，∴AE＞BD．（10分）27．（本题满分10分）第27题图①第27题图②解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1＝S2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（2分）（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，第27题图③那么符合要求的矩形可以画出1个，利用图③把它画出来．（4分）（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图④把它画出来．（7分）第27题图④（4）解：（2）如图答①所示第27题图答①（3）如图答②所示第27题图答②（4）以AB为边的矩形周长最小．（8分）设矩形BCED、ACHQ、ABGF的周长分别为L1、L2、L3，BC＝a，AC＝b，AB＝c．易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为S，则有L1＝aS2＋2a，L2＝bS2＋2b，L3＝cS2＋2c．∵L1－L2＝aS2＋2a－（bS2＋2b）＝2（a－b）abSab．而ab＞S，a＞b，∴L1－L2＞0．即L1＞L2．同理L2＞L3．∴以AB为边的矩形周长最小．（10分）28（本题满分10分）解：（1）∵α，β是Rt△ABC的两个锐角，∴tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0．（1分）由题知tanα，tanβ是方程x2＋25kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根，∴tanx·tanβ＝（2＝2k－k2）＝k2－2k－2，∴k2－2k－2＝1．解得，k＝3或k＝－1．（3分）而tanα＋tanβ＝－25k＞0，∴k＜0．∴k＝3应舍去，k＝－1．故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋25x－1．（5分）（2）不在．（6分）过C作CD⊥AB于D．令y＝0，得－x2＋25x－1＝0，解得x1＝21，x2＝2．∴A（21，0），B（2，0），AB＝23．（7分）∴tanα＝21，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝21AD．∴AD＝2CD．又CD＝BD·tanβ＝2BD，∴BD＝21CD．∴2m＋21m＝23．∴m＝53．∴AD＝56．∴C（1017，53）．（9分）当x＝1017时，y＝259≠53∴点C不在（1）中求出的二次函数的图象上．（10分）