2002数学一试题考研数学真题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)（1）exxdx2ln=_____________.（2）已知0162xxyey，则(0)y=_____________.（3）02yyy满足初始条件21)0(,1)0(yy的特解是_____________.（4）已知实二次型323121232221321444)(),,(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型216yf，则a=_____________.（5）设随机变量),(~2NX，且二次方程042Xyy无实根的概率为0．5，则μ＝_____________.二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)（1）考虑二元函数),(yxf的四条性质：①),(yxf在点),(00yx处连续，②),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续，③),(yxf在点),(00yx处可微，④),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在．则有：（Ａ）②③①；（Ｂ）③⑵①；（Ｃ）③④①；（Ｄ）③①④．（2）设0nu，且1limnnun，则级数)11()1(11nnnuu(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)收敛性不能判定．（3）设函数)(xf在R上有界且可导，则(A)当0)(limxfx时，必有0)(limxfx；（Ｂ）当)(limxfx存在时，必有0)(limxfx；(C)当0)(lim0xfx时，必有0)(lim0xfx；(D)当)(lim0xfx存在时，必有0)(lim0xfx．（4）设有三张不同平面，其方程为iiiidzcybxa（3,2,1i）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２，则这三张平面可能的位置关系为（5）设X和Y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY，分布函数分别为)(xFX和)(yFY，则（Ａ）)(xfX＋)(yfY必为密度函数；(B))(xfX)(yfY必为密度函数；（Ｃ）)(xFX＋)(yFY必为某一随机变量的分布函数；(D))(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数．三、（本题满分6分）设函数)(xf在x＝０的某邻域具有一阶连续导数，且0)0()0(ff，当0h时，若)()0()2()(hofhbfhaf，试求ba,的值．四、（本题满分７分）已知两曲线)(xfy与xtdteyarctan02在点（０，０）处的切线相同．求此切线的方程，并求极限)2(limnnfn．五、（本题满分７分）计算二重积分dxdyeDyx},max{22，其中}10,10|),{(yxyxD．六、（本题满分８分）设函数)(xf在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞０）内的有向分段光滑曲线，起点为（ba,），终点为（dc,）．记dyxyfyyxdxxyfyyI]1)([)](1[1222，（１）证明曲线积分I与路径L无关；（２）当cdab时，求I的值．七、（本题满分7分）１．验证函数03)!3()(nnnxxy（x）满足微分方程xeyyy；２．求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数．八、（本题满分７分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy面，其底部所占的区域为}75|),{(22xyyxyxD，小山的高度函数为),(yxhxyyx2275．（１）设),(00yxM为区域D上一点，问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为),(00yxg，写出),(00yxg的表达式．（２）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点．也就是说要在D的边界线上找出使（１）中),(yxg达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．九、（本题满分6分）已知四阶方阵),,,(4321A，4321,,,均为四维列向量，其中432,,线性无关，3212．若4321，求线性方程组Ax的通解．十、（本题满分8分）设A，Ｂ为同阶方阵，⑴若A，Ｂ相似，证明A，Ｂ的特征多项式相等；⑵举一个二阶方阵的例子说明⑴的逆命题不成立；⑶当A，Ｂ为实对称矩阵时，证明⑴的逆命题成立．十一、（本题满分7分）设维随机变量X的概率密度为其他xxfx00cos)(221对X独立地重复观察４次，用Ｙ表示观察值大于3的次数，求2Y的数学期望．十二、（本题满分7分）设总体X的概率分布为X0123P2)1(2221其中（210）是未知参数，利用总体X的如下样本值３，１，３，０，３，１，２，３．求的矩估计和最大似然估计值．