华中农业大学2003年度第一学期结业(期中)考试《线性代数》试卷考生注意:将所有的答案写在答题纸上。试卷、答题纸分开交回。一、填空题(将每题的横线上的答案写在答题纸的对应表格中,每小题3分,共15分)1、。________5/10002/12/301212、,_______,1,1,1321时aaaaaaa的极大无关组。为32121,,,3、,,321TA则______3Ar。4、A与B相似,A有特征值2,。有特征值,则______6BA5、设二次型2122212)(xxxxtf正定,则t的取值范围是__________。二、单选题(下列每题四个选项中只有一个合乎题意,将它写在答题纸的对应表格中,每小题3分,共15分)1、A,B分别是4×3矩阵和3×4矩阵,下列说法正确的是()(A)3ABr(B)3BAr(C)0AB(D)0BA2、已知21,为非齐次线性方程组bAx的两个不同解,21,是对应齐次方程组0Ax的基础解系,则bAx的通解为()(A)22121211kk(B)22121211kk(C)22121211kk(D)22121211kk3、下列向量组中可能相关的是()(A)A可逆,A的列向量组(B)属于方阵A三个不同特征值的特征向量321,,ppp(C)正交向量组(D)齐次线性方程组0Ax只有零解,A的行向量组4、下列说法不正确的是()(A)A是方阵,IAB,则))((22BABABA(B)A相似于I,则IA。(C)0212211,若数21,不全为0,则向量2121,,,线性相关。(D)00BCxAx与同解,rAr,则B的r阶子式可能全部为0。5、若A,B为n阶方阵,如果存在可逆矩阵C,使ACCBT,则称A与B合同,设矩阵100030002A,结合二次型有关理论判断A合同于矩阵()(A)100030002(B)100030002(C)100010001(D)100010001三、计算题(要求在答题纸上写出各题主要的计算步骤及结果,共56分)1、251694200015555432A,(1)求A。(6分)(2)求131211AAA(6分)2、101020101A,矩阵X满足XAEAX2,(1)求X。(6分)(2)求1X。(6分)3、有五个四维向量,5311b,32011,53112,12113a,84214a(1)ba,为何值时,不能由4321,,,线性表示。(4分)(2)ba,为何值时,能由4321,,,线性表示。且有无穷多表示。(4分)(3)在(2)的情况下,求出它的所有表示。(8分)4、二次型2123222122xxxxxAXXfT(1)求一个正交变换CYX将二次型化为标准型。(10分)(2)求nA。(6分)四、证明题(要求在答题纸上写出主要的证明过程,共14分)1、向量组321,,线性无关的充要条件是向量组133221,,线性无关。(6分)2、我们有如下定理:设向量组r,,,:21,向量组s,,,:21满足向量组可以由向量组线性表示,如果rs,则向量组必线性相关。(1)写出与这个定理等价的逆否命题。(2分)(2)线性无关的等价向量组含有相同个数向量。(3分)(3)向量组A可以由向量组B线性表示,则A组的秩≤B组的秩。(3分)