2002级《线性代数》考试试卷答案

华中农业大学2003年度第一学期结业（期中）考试《线性代数》试卷考生注意：将所有的答案写在答题纸上。试卷、答题纸分开交回。一、填空题（将每题的横线上的答案写在答题纸的对应表格中，每小题3分，共15分）1、12101203/21/20340001/5005。2、12311,1,1,,2aaaaaaa时的极大无关组。为32121,,,3、,,321TA则31rA。4、A与B相似，A有特征值2，63AB，则有特征值。5、设二次型2122212)(xxxxtf正定，则t的取值范围是t1。二、单选题（下列每题四个选项中只有一个合乎题意，将它写在答题纸的对应表格中，每小题3分，共15分）1、A，B分别是4×3矩阵和3×4矩阵，下列说法正确的是（c）（A）3ABr（B）3BAr（C）0AB(D)0BA2、已知21,为非齐次线性方程组bAx的两个不同解，21,是对应齐次方程组0Ax的基础解系，则bAx的通解为（B）（A）22121211kk（B）22121211kk（C）22121211kk（D）22121211kk3、下列向量组中可能相关的是（D）（A）A可逆,A的列向量组(B)属于方阵A三个不同特征值的特征向量321,,ppp(C)正交向量组（D）齐次线性方程组0Ax只有零解，A的行向量组4、下列说法不正确的是（D）（A）A是方阵，IAB，则))((22BABABA（B）A相似于I，则IA。（C）0212211，若数21,不全为0，则向量2121,,,线性相关。（D）00BCxAx与同解，rAr,则B的r阶子式可能全部为0。5、若A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使ACCBT，则称A与B合同，设矩阵100030002A，结合二次型有关理论判断A合同于矩阵（C）（A）100030002（B）100030002（C）100010001（D）100010001三、计算题（要求在答题纸上写出各题主要的计算步骤及结果，共56分）1、251694200015555432A，（1）求A。（6分）（2）求131211AAA（6分）2、101020101A，矩阵X满足XAEAX2，（1）求X。（6分）（2）求1X。（6分）3、有五个四维向量,5311b,32011,53112,12113a,84214a（1）ba,为何值时，不能由4321,,,线性表示。（4分）（2）ba,为何值时，能由4321,,,线性表示。且有无穷多表示。（4分）（3）在（2）的情况下，求出它的所有表示。（8分）4、二次型2123222122xxxxxAXXfT（1）求一个正交变换CYX将二次型化为标准型。（10分）（2）求nA。（6分）四、证明题（要求在答题纸上写出主要的证明过程，共14分）1、向量组321,,线性无关的充要条件是向量组133221,,线性无关。（6分）2、我们有如下定理：设向量组r,,,:21，向量组s,,,:21满足向量组可以由向量组线性表示，如果rs，则向量组必线性相关。（1）写出与这个定理等价的逆否命题。（2分）（2）线性无关的等价向量组含有相同个数向量。（3分）（3）向量组A可以由向量组B线性表示，则A组的秩≤B组的秩。（3分）