6函数的连续性总结

第二章极限与连续2.6函数的连续性一、连续函数的概念01uuu（终值与初值之差）称为变量u的增量（或称为变量的改变量）u1、变量的增量（改变量）注：增量可正、可负、也可为零.例如：2xy当x在0x取得增量x时，y的增量为00()()yfxxfx222000()2()xxxxxx计算在处，分别为时的改变量01xx0.5,0.7,0.5yyx)(xfyyx0xＯ0xx)(0xf)(xfy)(xfyyx0xxＯ0xx思考：变量的增量与连续有什么关系呢？在点连续()yfx0x0,0xy在点不连续0x0,0xy()yfx2、（函数在一点连续）定义：设函数)(xfy在0x的某邻域内有定义，如果自变量的增量x趋于零时，对应的函数增量y也趋于零时，即：0))()((limlim0000xfxxfyxx则称函数)(xfy在点0x处连续，称0x为连续点.)(xf的3、（函数在一点连续）等价定义：设函数)(xfy在0x的某邻域内有定义，如果有：)lim()()(lim000xfxfxfxxxx则称函数)(xfy在点0x处连续，称0x为连续点.)(xf的4、（左连续、右连续）定义左连续：在点0x处有，)()(lim00xfxfxx即00(0)()fxfx右连续：在点0x处有，)()(lim00xfxfxx即)()0(00xfxf注：①②左极限0lim()xxfx存在)(0xf)(xf在0x左连续)(xf在0x右连续③④右极限存在)(0xf)(lim0xfxx5、函数)(xf在0x点连续的充要条件：)(xf在0x点连续)(xf在0x点既左连续又右连续利用左连续、右连续验证)(xf在点0x连续性的方法步骤：①验证)(xf在0x的某邻域内是否有定义；②验证)(lim0xfxx是否存在；③验证)(lim0xfxx是否存在；④验证).()(lim)(lim000xfxfxfxxxx例1：①试讨论函数)(xf,21x0x,12x10x,4x1x在0x和1x处的连续性.6、（函数在区间连续）定义)(xf在),(ba连续：函数)(xf在区间),(ba内每一点处都连续.)(xf在],[ba连续：函数)(xf在区间),(ba内连续，且在ax右连续，在bx左连续.xxxPncos,sin),(在(,)内都连续；②注：①在),(ba）或],[(ba连续的函数，其图形是一条连续不断的曲线.二、函数的间断点1、函数间断点的定义此时，称点为函数的不连续点或间断点0x)(xf在点0x处连续的定义知，有以下三)(xf由函数种情况之一的，则函数在点处不连续：)(xf0x（1）在0x处没有定义；（2）)(lim0xfxx不存在；（3）00lim()().xxfxfx)(lim0xfxx存在，但oxy21)(xf例如，函数,11)(2xxxf由于在1x处没有定义，即)1(f不存在，故该函数在1x处不连续，所以点1是)(xf的间断点.)(xfxyo12例如，函数虽然在1x处即不存在，故该函数在1x处不连续，所以点)(xf,1x1x,01x,1x1x有定义，但由于,0)(lim,2)(lim11xfxfxx)(lim1xfx1是)(xf的间断点.xyo21)(xf例如，函数虽然在1x处也存在，但因为，故该函数在1x处不连续，所以点)(xf,1x1x,01x有定义，且)1()(lim1fxfx2)(lim1xfx1是)(xf的间断点.2、函数间断点的分类（1）第一类间断点：是0x)(xf的间断点，且右极限)(lim0xfxx与左极限)(lim0xfxx都存在，则称0x)(xf为的第一类间断点.是①可去间断点：0x)(xf的第一类间断点，且Axfxfxxxx)(lim)(lim00但)(0xfA或)(xf在0x处无定义，称0x为)(xf的可去间断点.注：可去间断点如果补充定义,)(0Axf则)(xf这个函数在0x处连续了.②跳跃间断点：是0x)(xf的第一类间断点，且)(lim0xfxx但)(lim)(lim00xfxfxxxx0x的跳跃间断点.)(lim0xfxx与都存在，则称为)(xf例2：指出下列函数的间断点及间断点类型.①()xfxx②()fx1sinxx0x10x（2）第二类间断点：是0x)(xf的间断点，且右极限)(lim0xfxx与左极限)(lim0xfxx至少有一个不存在，称0x为)(xf的第二类间断点.是①无穷间断点：0x)(xf的第二类间断点，且左)(lim0xfxx0x为)(xf的无穷间断点.)(lim0xfxx与右极限中至少有一个是，则称极限是②非无穷间断点：0x)(xf的第二类间断点，但的非无穷间断点.无穷间断点，不是0x为则称)(xf例3：指出下列函数的间断点及间断点类型.①②1()sinfxx)(xf,1x0x,x0x第一类间断点0yx0x可去型0yx0x跳跃型第二类间断点0yx0x无穷型0yx非无穷型（振荡型）三、连续函数的性质1、连续函数的四则运算若函数),(xf)(xg在点0x连续，则)0)(()()(),()(),()(0xgxgxfxgxfxgxf在点0x处也连续.如：xxcos,sin在),(连续，故xxxxcsc,sec,cot,tan在其定义域内连续.2、反函数的连续性如：xyarcsin在xysin在]2,2[上单调增加且连续，]1,1[上也单调增加且连续.故单调的连续函数必有单调的连续反函数3、复合函数的连续性若)(ufy)(xu在0u连续，)]([xfy在0x处也连续.在0x连续，且00)(ux，则复合函数注：极限符号可以与函数符号互换，即：)()]([)](lim[)]([lim0000ufxfxfxfxxxx如：xu1在),0()0,(连续，xy1sin在uysin在),(连续，故),0()0,(内连续.由性质1与3可得：连续函数经有限次四则运算和有限次复合运算而得到的函数，在其定义区间内连续.4、基本初等函数在其定义域内连续初等函数在其定义区间内连续定义区间是指包含在定义域内的区间注：初等函数在其定义区间连续，但在其定义域未必连续.如：cos1{0,2,4,}yxD此时，函数在这些孤立点的邻域内没有定义.怎么讨论一个分段函数在其定义域内的连续性?步骤：⑴利用初等函数的连续性，讨论分段函数在各个子区间的连续性；⑵利用函数在一点连续的定义，讨论分段函数在各分段点处的连续性；⑶综合⑴⑵给出结论.例4：讨论函数的连续性.)(xf3x0xsinxx0x00x5、利用连续函数的性质求极限例5：求下列函数的极限xxx)1ln(lim0xexx1lim0206limsin()3xxxx①②③五、闭区间上连续函数的性质1、最值定理若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf在],[ba上必能取到最大值和最小值.即在],[ba上至少存在两点1和2，使对任意的],[bax恒有：)()()(21fxff如：,sin1xy]4,0[x则,0)(1f2)(2f注：)(xf在闭区间],[ba上连续这条件非常重要，如：xxf1)(在),0(上连续,既没最大值也没最小值.xxf)(在)1,0(上连续,既没最大值也没最小值.xxfln)(在],0(e上连续,没有最小值.2、介值定理若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，且)(xf在],[ba上的最大值和最小值分别记为M则对于介于m和M之间的任何实数CmC即(使得：Cf)(和,m),M至少存在一点),,(baabxyMCm21)(xfo3、零值定理若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，且)(af与)(bf异号（即),0)()(bfaf点使得：0)(f则至少存在一),,(ba注：零值定理常用来证明方程的实根存在性和计算实根的近似值.abxy2)(bfo31)(af)(xf例6：证明方程32620xx在(0,1)内至少有一个实根.六、例题解答解例1：002000001lim()lim(1)1;2lim()lim(1)1;lim()lim()10.xxxxxxxfxfxfxxfxfxx0在处，（x）有定义，且f(0)=1+；2于是，f(0)，在处连续211110012lim()lim(1)2;lim()lim(4)3;lim()lim()1.xxxxxxxffxxfxxfxfxx在处，（x）有定义，且f(1)=1+1；于是，，在处不连续解例2：①00000000lim()lim(1)1;lim()lim11;lim()lim()0.xxxxxxxffxfxfxfxx在处，（x）没有定义，故是f(x)的间断点；于是，，所以是跳跃间断点②00000lim()lim()0;lim()lim()0;0(0)0xxxxxfxfxfxfxfxff(x)在有定义，且f(0)=1；但，（）所以是间断点，且为可去间断点.若补充定义，则f(x)在x=0处连续解例3：①000000lim()lim0;1lim()lim;0.xxxxxffxxfxxx在处，（x）没有定义，故是f(x)的间断点；于是，是无穷间断点②0001limsin0.xxfxx在处，（x）没有定义，故是f(x)的间断点；但不存在，所以是非无穷间断点解例4、例5、例6如书