2003年全国初中数学竞赛辽宁预赛技巧归纳

AthesissubmittedtoXXXinpartialfulfillmentoftherequirementforthedegreeofMasterofEngineering2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题一、选择题(每小题3分，共30分)1、在直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则△OAB的内心坐标为A、(32，23)B、(72，2)C、(1，1)D、(72，1)2、把111aa根号外面的因式移到根号内，整理后的结果是()A、1aB、1aC、-1aD、-1a3、一辆汽车的油箱里装有30升汽油，汽车每行驶100千米耗油6升，在行驶过程中，油箱中剩油量y(升)与行驶路程x(千米)的函数关系可用图象表示为()4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是()A、10B、13C、16D、195、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，DE是⊙O的切线，∠ADE=55°，则∠C等于()A、110°B、100°C、115°D、120°6、如图，半圆的直径EF=8，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，一边BC在EF上，则这个正方形的面积等于()A、16B、15.4C、12.8D、127、某商店出售一种商品，下列几种方案中，最后价格最低的方案是()A、先提价10%，再降价10%B、先降价10%，再提价10%C、先提价20%，再降价20%D、先提价30%，再降价30%8、如图，AB是⊙O的直径，CD是平行于AB的弦，且AC交BD于点E，∠AED=α，则DCEABESS等于()A、cosαB、sinαC、cos2αD、sin2α9、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则化简二次根式2ac+2bc的结果是()A、a+bB、-a-bC、a-b+2cD、-a+b-2c10、已知⊙O的半径为r，AB、CD为⊙O的两条直径，且AC=60°，P为BC上的任意一点，PA、PD分别交CD、AB于点E、F，则AE·AP+DF·DP等于A、3r2B、23r2C、4r2D、43r2二、填空题(每小题3分，共30分)11、关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+3=0有实数根，则k的取值范围是____。12、一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是36xy，36xy。符合要求的方程组是____。(填一个即可)13、如果式子124xx有意义，那么x的取值范围是____。14、已知双曲线y=(2m2+5m-12)在一、三象限内，则m=____。15、⊙O的半径为R，弦AB∥CD，AB=R，CD=3R，则弦AB、CD之间的距离为____。16、△ABC中，∠C=90°，AC=85，∠BAC的平分线AD=16153，则这个三角形的外接圆半径为____。17、已知扇形的周长等于11cm，面积等于7cm2，那么扇形的半径等于____。18、如果实数a、b满足(a-2)2+b2=3，则ba的最大值是____。19、请写出一个二次函数，使它的图象经过点(1，0)，最大值等于2，如y=____。20、设直线kx+(k+1)y-1=0(k为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk(k=1，2，3，4，…，2003)，则S1+S2+S3+…+S2002+S2003=____。三、(每小题10分，共30分)21、当x=119972时，求代数式(4x3-2000x-1997)2003的值。22、在△ABC中，BC=3，S△ABC=22，AH⊥BC于H，HB=2HC，⊙O与∠C的两边相切且圆心在AH上，求⊙O的半径。23、甲、乙两人分别从A、B两地前往C地，甲从A地到C地需3小时，乙从B地到C地需2小时40分，已知A、C两地的距离比B、C两地的距离远10千米，每前进1千米甲比乙少用10分钟。(1)求A、C两地的距离；(2)假设AB、BC、AC这三条道路均为直路，试判断A、B两地之间的距离d在什么范围内？四、(满分15分)24、如图，某船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，前进1小时到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁。(1)问B处离岛C有多远？(2)问船继续向东航行，有无触礁危险？说明理由。(3)为了保证安全，船在B处把航向改为东偏南15°，如果这样前进，有无触礁危险？说明理由。(供选用数据：2=1.4142，3=1.7321，sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tg75°=3.7320，ctg75°=0.2679)五、(满分15分)25、我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方省区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定。北方某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用。据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量(吨)交费总数(元)7140264895152(1)求出该市规定标准用水量a的值；(2)写出交费总数y(元)与用水量x(吨)的函数关系式；(3)画出函数的图象。六、(满分15分)26、如图(a)，AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，过B点作⊙O的切线L，分别交直线AP、AQ于点M、N。(1)证明AP·AM=AQ·AN；(2)将直线L向上平移，使其经过点P，如图(b)，L交直线AQ于N，你能得出什么结论？试证明你的结论；(3)若将直线L任意上、下平移，使其与直线AP、AQ分别相交于M、N，如图(c)，你还能得出什么结论？七、(满分15分)27、已知：抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。(1)求m的取值范围；(2)若m＜0，直线y=kx-1经过点A，与y轴交于点D，且AD·BD=52，求抛物线的解析式；(3)若A点在B点的左侧，则在第一象限内，(2)中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分△ACD的面积？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。2003年初中数学竞赛预赛试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题3分，共30分)1、C2、D3、C4、C5、A6、C7、D8、C9、D10、A二、填空题(每小题3分，共30分)11、k≤且k≠112、略(正确即可)13、x≥2且x≠414、215、R或R16、817、2cm或cm18、19、略(正确即可)20、三、(每小题10分，共30分)21、解：∵x=∴x2=……3分∴(4x3-2000x-1997)2003=(4××-2000×-1997)2003……5分=(999+1997+1000-1000-1000-1997)2003……8分=-1……10分22、解：∵BC=，S△ABC=∴AH===……2分又∵BH=2CH，∴CH==……3分由AH⊥BC知△AHC、△COH都是直角三角形……4分由勾股定理得，AC==1……6分∵S△AHC=S△AOC+S△OHC即AH·HC=AC·OH+HC·OH……8分AH·HC=OH(AC+HC)OH==……10分23、解：(1)设A、C两地间的距离为x千米，……1分依题意得……4分化简得x2-8x-180=0……5分解得x1=18，x2=-10(舍去)……6分则A、C两地距离为18千米(2)如果A、B、C三地在一条直线上，B在AC内，则d=10千米，B在AC延长线上，d=26千米；如果A、B、C三地不在一条直线上，则10＜d＜26……9分答：A、B两地间的距离为10米≤d≤26米……10分四、(满分15分)24、解：(1)过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，则∠CAD=30°，∠CBD=60°，∠ACB=30°，∴AB=BC，AB=10∴BC=10，即B处离岛C10海里；……7分(2)sin60°=，∴CD=BC·sin60°≈8.66(海里)＜9海里，∴若船继续航行有触礁的危险；……11分(3)过C作CE⊥BF于E，则∠CBE=75°，CE=CB·sin75°=10·sin75°=9.659(海里)＞9海里，∴船在B处把航向改为东偏南15°，就没有触礁的危险。……15分五、(满分15分)25、解：(1)设y=……4分因7月份用水量为140吨，1.6×140=224＜264，所以，(140-a)=264-224=40，即a2-140a+4000=0，解之得a1=100，a2=40，……7分又8月份用水量为95吨，1.6×95=152，故取a=100，……8分(2)y=……10分(3)图象如下：……15分六、(满分15分)26、(1)连结PB、BQ，则△APB∽△ABM，∴AB2=AP·AM，同理有AB2=AQ·AN，∴AP·AM=AQ·AN；……6分(2)AP2=AQ·AN；证明：连接PB、BQ，令L与AB交点为E则△PAB∽△PAE，∴AP2=AB·AE同理△AEN∽△ABQ，∴AQ·AN=AB·AE∴AP2=AQ·AN……12分(3)AP·AM=AQ·AN……15分七、(满分15分)27、解：(1)抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴有两个交点，方程x2+(m-4)x-3(m-1)=0有两个不等实根，△=…=(m+2)2＞0，所以m≠-2……3分(2)设A(x1，0)、B(x2，0)，则x1，x2是方程x2+(m-4)x-3(m-1)=0的两个实根，x1+x2=4-m，x1·x2=-3(m-1)，D(0，-1)……4分利用AD·BD=5和根与系数关系整理出(x1·x2)2+(x1+x2)2-2x1x2+1=50……7分将m的代数式带入上式，得m2-2m-3=0，解得m1=-1，m2=3(不合题意舍去)……8分所求抛物线的解析式是y=-x2+5x-6……9分(3)假设存在符合条件的点P，同直线PA过DC的中点M，D(0，-1)，C(0，-6)，M(0，-)，……10分令y=0，解得x1=2，x2=3，由A在B的左侧，得A(2，0)设PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，求得直线AM为y=x-由得……14分∴在第一象限内，抛物线上不存在点P，使PA平分△ACD的面积……15分