2003年数学真题及其解析三

12003年考研数学（三）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若其导函数在x=0处连续，则的取值范围是2.【分析】当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当1时，有,0,0,0,1sin1cos)(21xxxxxxxf若若显然当2时，有)0(0)(lim0fxfx，即其导函数在x=0处连续.【评注】原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）.（2）已知曲线bxaxy233与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b64a.【分析】曲线在切点的斜率为0，即0y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b与a的关系.【详解】由题设，在切点处有03322axy，有.220ax又在此点y坐标为0，于是有0300230bxax,故.44)3(6422202202aaaxaxb【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题.（3）设a0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(=2a.【分析】本题积分区域为全平面，但只有当10,10xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】DdxdyxygxfI)()(=dxdyaxyx10,1022=.])1[(21021012adxxxadydxaxx【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】.（4）设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵TEA，TaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a=-1.【分析】这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有)1)((TTaEEAB=TTTTaaE11=TTTTaaE)(11=TTTaaE21=EaaET)121(,于是有0121aa，即0122aa，解得.1,21aa由于A0,故a=-1.【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题.（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若4.0XZ，则Y与Z的相关系数为0.9.【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(XEYEXYEXYZY=)(4.0)()()(4.0)(YEXEYEYEXYE=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),3且.DXDZ于是有cov(Y,Z)=DZDYZY),cov(=.9.0),cov(XYDYDXYX【评注】注意以下运算公式：DXaXD)(，).,cov(),cov(YXaYX完全类似例题见《数学复习指南》P.475【例3.32】的【注】.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，nXXX,,,21为来自总体X的简单随机样本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于21.【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量nXXX,,,21，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111nEXnXnniipnii【详解】这里22221,,,nXXX满足大数定律的条件，且22)(iiiEXDXEX=21)21(412，因此根据大数定律有niinXnY121依概率收敛于.21112niiEXn【评注】大数定律见《数学复习指南》P.484.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数xxfxg)()((A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[D]【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有)0(0)0()(lim)(lim)(lim000fxfxfxxfxgxxx存在，故x=0为可去间断点.【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=,0,0,0,1xxxx可排除4(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在0xx处连续，则.)(,0)()(lim0000AxfxfAxxxfxx.本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》P.18的重要结论与公式.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是(A)),(0yxf在0yy处的导数等于零.（B）),(0yxf在0yy处的导数大于零.(C)),(0yxf在0yy处的导数小于零.(D)),(0yxf在0yy处的导数不存在.[A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00yxfy，即),(0yxf在0yy处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0yxf在0yy处的导数即),(00yxfy；而),(0yxf在0xx处的导数即).,(00yxfx【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(yxyxf，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(yyf，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).（3）设2nnnaap，2nnnaaq，,2,1n，则下列命题正确的是(A)若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛.(B)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛.(C)若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定.(D)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定.[B]【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若1nna绝对收敛，即1nna收敛，当然也有级数1nna收敛，再根据52nnnaap，2nnnaaq及收敛级数的运算性质知，1nnp与1nnq都收敛，故应选(B).【评注】完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.23第二大题第（3）小题.（4）设三阶矩阵abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.[C]【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2babaabbbabbba，即有02ba或a=b.但当a=b时，显然秩(A)2,故必有ab且a+2b=0.应选(C).【评注】n（n)2阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(nArnArnArnAr完全类似例题见《数学复习指南》P.329【例3.31】.（5）设s,,,21均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有02211sskkk，则s,,,21线性无关.(B)若s,,,21线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有.02211sskkk(C)s,,,21线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s,,,21线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[B]【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21,都有602211sskkk，则s,,,21必线性无关，因为若s,,,21线性相关，则存在一组不全为零的数skkk,,,21,使得02211sskkk，矛盾.可见（A）成立.(B):若s,,,21线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有.02211sskkk(B)不成立.(C)s,,,21线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组s,,,21的秩为s，则s,,,21线性无关，因此(C)成立.(D)s,,,21线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数skkk,,,21，使得02211sskkk成立，则s,,,21线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有02211sskkk，则s,,,21线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.与本题完全类似例题见《数学复习指南》P.313【例3.4】.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A={掷第一次出现正面}，2A={掷第二次出现正面}，3A={正、反面各出现一次}，4A={正面出现两次}，则事件(A)321,,AAA相互独立.(B)432,,AAA相互独立.(C)321,,AAA两两独立.(D)432,,AAA两两独立.[C]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为21)(1AP，21)(2AP，21)(3AP，41)(4AP，且41)(21AAP，41)(31AAP，41)(32AAP，41)(42AAP0)(321AAAP，可见有7)()()(2121APAPAAP，)()()(3131APAPAAP，)()()(3232APAPAAP，)()()()(321321APAPAPAAAP，)()()(4242APAPAAP.故321,,AAA两两独立但不相互独立；432,,AAA不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.本题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见《数学复习指南》P.401.三、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin11)(xxxxxf试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】只需求出极限)(lim1xfx，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】因为)(lim1xfx=])1(1sin11[lim1xxxx=xxxxxsin)1(sin)1(lim111=xxxxxcos)1(sincoslim111=xxxxxx