2003年数学真题及其解析四

12003年考研数学（四）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限xxx20)]1ln(1[lim=2e.【分析】本题属1型未定式，化为指数函数求极限即可.【详解】xxx20)]1ln(1[lim=)]1ln(1ln[20limxxxe=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00eeexxxxxx【评注】对于1型未定式)()(limxgxf的极限，也可直接用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe进行计算，因此本题也可这样求解：xxx20)]1ln(1[lim=.2)1ln(2lim0eexxx【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第一大题第（1）小题.（2）dxexxx11)(=)21(21e.【分析】对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有.011dxxex【详解】dxexxx11)(=dxxedxexxx1111=dxexx11=101022xxxdedxxe=][21010dxexexx=)21(21e.【评注】本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第（3）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第（2）小题.（3）设a0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则2DdxdyxygxfI)()(=2a.【分析】本题积分区域为全平面，但只有当10,10xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】DdxdyxygxfI)()(=dxdyaxyx10,102=.])1[(21021012adxxxadydxaxx【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】.（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=202040202,则1)(EA=001010100.【分析】应先化简，从AB=2A+B中确定1)(EA.【详解】由AB=2A+B,知AB-B=2A-2E+2E,即有EEABEA2)(2)(，EEBEA2)2)((，EEBEA)2(21)(，可见1)(EA=)2(21EB=001010100.【评注】本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A-E，写成逆矩阵的定义形式，从而确定(A-E)的逆矩阵.完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.（5）设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵TEA，TaEB1，3其中A的逆矩阵为B，则a=-1.【分析】这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有)1)((TTaEEAB=TTTTaaE11=TTTTaaE)(11=TTTaaE21=EaaET)121(,于是有0121aa，即0122aa，解得.1,21aa由于A0,故a=-1.【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题.（6）设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,222EYEX,则2)(YXE=6.【分析】利用期望与相关系数的公式进行计算即可.【详解】因为2)(YXE=22)(2EYXYEEX=4+]),([2EYEXYXCov=4+2.625.024DYDXXY【评注】本题的核心是逆向思维，利用公式EYEXYXCovXYE),()(，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线21xxey(A)仅有水平渐近线.(B)仅有铅直渐近线.4(C)既有铅直又有水平渐近线.(D)既有铅直又有斜渐近线.[D]【分析】先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.【详解】当x时，极限yxlim均不存在，故不存在水平渐近线；又因为1limlim21xxxexy，0)(lim21xxexx，所以有斜渐近线y=x.另外，在x=0处21xxey无定义，且210limxxxe，可见x=0为铅直渐近线.故曲线21xxey既有铅直又有斜渐近线，应选(D).【评注】本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153【例6.30-31】.（2）设函数)(1)(3xxxf，其中)(x在x=1处连续，则0)1(是f(x)在x=1处可导的(A)充分必要条件.（B）必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.[A]【分析】被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f(x)在x=1处左右导数定义讨论即可.【详解】因为)1(3)(11lim1)1()(lim311xxxxfxfxx，)1(3)(11lim1)1()(lim311xxxxfxfxx，可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是.0)1()1(3)1(3故应选(A).【评注】函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理.一般地，函数)()(0xxxxg在点0xx处可导的充要条件是.0)(0x完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28【例2.6】和《考研数学大串讲》P.19的公式.（3）设可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是(A)),(0yxf在0yy处的导数等于零.（B）),(0yxf在0yy处的导数大于零.(C)),(0yxf在0yy处的导数小于零.(D)),(0yxf在0yy处的导数不存在.[A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，根据取极值的必要条件知50),(00yxfy，即),(0yxf在0yy处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0yxf在0yy处的导数即),(00yxfy；而),(0yxf在0xx处的导数即).,(00yxfx【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(yxyxf，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(yyf，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).（4）设矩阵001010100B.已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.[C]【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E)之和.【详解】因为矩阵A相似于B，于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102，秩(B-E)=秩1101000101，可见有秩(A-2E)+秩(A-E)=秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C).【评注】若BA~，则)(~)(BfAf，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质.见《数学复习指南》P.360相似矩阵及其性质.（5）对于任意二事件A和B(A)若AB，则A,B一定独立.(B)若AB，则A,B有可能独立.(C)若AB，则A,B一定独立.(D)若AB，则A,B一定不独立.[B]【分析】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.【详解】AB推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定独立，排除(A);若AB，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D)也不成立，故正确选项为(B).【评注】当P(A)0,P(B)0时，若A,B相互独立，则一定有0)()()(BPAPABP，6从而有AB.可见，当A,B相互独立时，往往A,B并不是互斥的.完全类似例题见《数学复习指南》P.415第二大题第（7）小题.（6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X与Y一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X与Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布.[C]【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(X,Y)服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.【详解】只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X与Y不相关X与Y独立，本题仅仅已知X和Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除(A);若X和Y都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y是否独立，可排除(B);同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).【评注】①若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.②若X与Y均服从正态分布且相互独立，则bYaX服从一维正态分布.③若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立X与Y不相关.完全类似结论见《数学复习指南》P.458的[注].三、（本题满分8分）设],21,0(,)1(11sin1)(xxxxxf试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim0xfx=-.1+xxxxxsinsinlim0=-220sinlim1xxxx=-xxx202coslim1=-2202sinlim1xx=-.17由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义1)0(f，使f(x)在]21,0[上连续.【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.24第三题.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222vfuf，又)](21,[),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：),(vufg，)(21,22yxvxyu，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uvfvuf【详解】vfxufyxg，.vfyufxyg故vfvfxvufxyufyxg2222222222，.2222222222vfvfyuvfxyufxyg所以222222222222)()(vfyxufyxygxg=.22yx【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.67第六题和《数学复习指南》P.1718【例7.20,7.22】.五、（本题满分8分）计算二重积分.)sin(22)(22dxdyyxeIDyx