2003年春季高考数学试题(北京理)及答案-2003年高考数学试题

2003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21coscos)]cos()[cos(21sinsin一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆1．若集合PMxyyPyyMx则},1|{},2|{()A．}1|{yyB．}1|{yyC．}0|{yyD．}0|{yy2．若xxxf1)(，则方程xxf)4(的根是()A．21B．－21C．2D．－23．设复数2121arg,2321,1zziziz则()A．1213B．127C．125D．－1254．函数)1(11)(xxxf的最大值是()A．54B．45C．43D．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222babyaxybxa与的曲线大致是()xyxyxyxyOOOOABCD6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的是()A．CAsinsinB．CAcoscosC．tgCtgAD．ctgCctgA正棱台、圆台的侧面积公式lccS)(21台侧其中c、c分别表示上、下底面周长l表示斜高或母线长球体的体积公式334RV球其中R表示球的半径ABCDEFGHJL7．椭圆(sin3,cos54yx为参数）的焦点坐标为()A．（0，0），（0，－8）B．（0，0），（－8，0）C．（0，0），（0，8）D．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42B．30C．20D．1210．已知直线1)0(022yxabccbyax与圆相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在11．若不等式6|2|ax的解集为（－1，2），则实数a等于()A．8B．2C．－4D．－812．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为3032,0,0yxyx，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是()A．95B．91C．88D．752003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR奎屯王新敞新疆14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内奎屯王新敞新疆年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）8815．如图，F1，F2分别为椭圆12222byax的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是奎屯王新敞新疆16．若存在常数0p，使得函数)()(pxfxf满足)(),)(2(xfRxppxf则的一个正周期为奎屯王新敞新疆三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.rr↑↓（1）（2）xyOPF1FABCO1O217．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log21221xxx18．（本小题满分12分）已知函数)(,2cos4sin5cos6)(24xfxxxxf求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.20．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为)(Nnan.（Ⅰ）证明}{na是等比数列；（Ⅱ）求)(lim21nnaaa的值.22．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1:xl相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.ABCDEFGB1C1D1A12003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A10.B11.C12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．33214．（140）（85）15．3216．2p注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221xxx.所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222xxxxxxxxxxxxxx.故原不等式的解集为}32|{xx.18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.满分12分.解：由Zkkxkxx,42,2202cos解得得.所以)(xf的定义域为}.,42|{ZkkxRxx且因为)(xf的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin5)(cos6)(24xxxxf)(),(2cos4sin5cos624xfxfxxx所以是偶函数.当xxxxfZkkx2cos4sin5cos6)(,,4224时1cos32cos)1cos3)(1cos2(222xxxx，所以)(xf的值域为}221211|{yyy或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.（Ⅰ）证法一：连结AC.∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.ABCDEFGB1C1D1A1（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H.解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.∵422221111BABD，,174144sinsin2211111GBBBGBBHBD∴.17171617441HDd解法二：∵△D1HB1～△B1BG，∴GBBDBBHD11111，∴.1717161442221211GBBBHDd解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即21112121BBHDGB，.1717161211GBBBHDd（Ⅲ）EFBEFBDEFDBSdVVV1111131.3161722117163120．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(xxxxf，整理得307050)4050(5012100016250)(22xxxxf所以，当x=4050时，)(xf最大，最大值为307050)4050(f，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.满分13分.（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则,633021ltglr.2130sin11nnnnrrrrBOn-1OnACB1BGDD1HB1BGDD1H所以,12),2(3122111lranrrnn于是91)(211nnnnrraa故}{na成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11Nnaann所以.323911)(lim2121laaaann22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力.满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为xy42.（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为xyxyxy4)1(3)1(32由消y得.3,31,03103212xxxx解得所以A点坐标为)332,31(，B点坐标为（3，32），.3162||21xxAB假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即222222)316()32()131(,)316()32()13(yy由①－②得,)332()34()32(42222yy.9314y解得但9314y不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由321)1(3yxxy得，即当点C的坐标为（－1，32）时，A，B，C三点共线，故32y.又2222334928)332()311(||yyyAC，①②)332,31()32,3(xy42l32332xyAOBP(1,0)-122223428)32()13(||yyyBC，9256)316(||22AB.当2