2003年量子力学期末试题及答案一、(20分)在0t时刻,氢原子处于状态)(21)(31)(21)0,(321rrrCr式中,)(rn为氢原子的第n个能量本征态。计算0t时能量的取值几率与平均值,写出0t时的波函数。解:氢原子的本征解为22412neEn,YlmnlnlmrRr其中,量子数的取值范围是,3,2,1n;1,,2,1,0nl,llllm,1,,1,由波函数归一化条件可知归一化常数为2321312121C不为零的能量取值几率为8331EWEW;412EW能量平均值为24242314823414191183241)(83eeEEEE当0t时,波函数为tErtErtErtr332211iexp83iexp21iexp83,二、(20分)设粒子处于一维势阱之中axaxVxxV,00,0,)(0式中,00V。导出能量本征值满足的超越方程,进而求出使得体系至少存在一个束缚态的0V值。解:对于0E的情况,三个区域中的波函数分别为xBxkxAxxexpsin0321其中,EmVEmk2;)(20利用波函数再0x处的连接条件知,n,,2,1,0n在ax处,利用波函数及其一阶导数连续的条件aaaa'3'232得到aBnkaAkaBnkaAexpcosexpsin于是有kkatan此即能量满足的超越方程。由于,余切值是负数,所以,角度ka在第2、4象限。超越方程也可以改写成akkaka0sin式中,002Vk因为,1sinka,所以,若要上式有解,必须要求kaak0当2ka时,1sinka,于是,有2200Vaak整理之,得到22208aV三、(20分)在动量表象中,写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。解:在坐标表象中,线谐振子的哈密顿算符为22221ˆ21ˆxmpmH在动量表象中,该哈密顿算符为22222222dd2121ddi2121ˆpmpmxmpmH由于动量的本征函数为'pp,故哈密顿算符的矩阵元为'''2''2222''''22222'dd2121ddd2121'''pppmpmppppmpmppHpp四、(20分)设两个自旋为21非全同粒子构成的体系,哈密顿量21ˆˆˆssCH,其中,C为常数,1ˆs与2ˆs分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知0t时,粒子1的自旋沿z轴的负方向,粒子2的自旋沿z轴的正方向,求0t时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率和粒子2的自旋处于z轴负方向的几率。解:体系的哈密顿算符为2221221ˆˆˆ2ˆˆˆsssCssCH选择耦合表象,由于1,0s,故四个基底为111;112;103;004在此基底之下,哈密顿算符是对角矩阵,即30000100001000014ˆ2CH可以直接写出它的解为214CE,111224CE,112234CE,211032443CE,21004已知0t时,体系处于0010210因为哈密顿算符不显含时间,故0t时刻的波函数为tCtCEEt43iexp214iexp2100iexp10iexp2143粒子1处于z轴负方向的几率为tCtCtCtCtCtttsWz2cos2iexp2iexp2143iexp4iexp21,2222221而粒子2处于z轴负方向的几率为tCtCtCtCtCtttsWz2sin2iexp2iexp2143iexp4iexp21,2222222五、(20分)作一维运动的粒子,当哈密顿算符为xVpH2ˆˆ20时,能量本征值与本征矢分别为0nE与n,如果哈密顿算符变成pHHˆˆˆ0(为实参数)时,(1)利用费曼-海尔曼定理求出严格的能量本征值。(2)若1,利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解:首先,利用费因曼-赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视为参变量,则有pHˆˆ利用费因曼-赫尔曼定理可知npnnHnEnˆ1ˆ又知pppxHxtxˆ1ˆ2ˆ,i1ˆ,i1dd2在任何束缚态n下,均有0ˆˆi1ˆ,i1ddnxHHxnnHxnntxn所以,npnˆ进而得到能量本征值满足的微分方程nE对上式作积分,得到cEn22利用0时,0ˆˆHH,定出积分常数0nEc最后,得到Hˆ的本征值为220nnEE其次,用微扰论计算能量的近似解。已知0ˆH满足的本征方程为nEnHn00ˆ由pHxˆˆ,i10可知mnmnmnxEEp00i第k个能级的一级修正为01kkkkkpWE能量的二级修正为2002200000022002iinkknknknnknknkknknknnknkknkxEEEExEExEEEEWWE为了求出上式右端的求和项,在0H表象下计算20000iinnkknnnknkknnnkknkkxEExEExpxxp可以证明,对于任意实束缚态波函数k,有i21kkxp于是,得到22200nkknknxEE得到2222222kE近似到二级的解为220kkEE