河南城建学院 洛必达法则

1二、洛比达法则及其应用一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章三、导数应用---研究曲线的性态2()3)lim()xafxFx存在(或为)()()limlim()()xaxafxfxFxFx2)()()(),fxFxa与在内可导定理1.(洛必达法则)推论1.定理1中xa换为,xa之一,推论2.若()lim()fxFx理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,x二、洛比达法则及其应用3()3)lim()xafxFx存在(或为∞)()lim()xafxFx定理2.()lim()xafxFx(洛必达法则)2)()()(),fxFxa与在内可导说明:定理中xa换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.,xa,xa,xx,x4000,1,型型0型00型型1gffg1111gfgffg洛必达法则适用于：gyf令lngfye5例1.30sincoslimsinxxxxx计算解:原式0xxxeln1limxxxelnlim01.exxx1lim例2.30sincoslim,xxxxx30(sincos)lim()xxxxx=20coscossinlim3xxxxxx2201lim.33xxx用罗比达法则1limxxx计算解:1limxxelim1nnn6注意：1)条件充分但不必要.洛必达法则的使用条件.()lim(),()fxFx若不存在时()()limlim.()()fxfxFxFx例如,sinlimxxxx1coslim1xx极限不存在也不是无穷大sinlim(1)xxx12)对有些极限失效对数列极限失效.对()lim()()fxgx不存在时失效.7有时出现循环，这时罗比达法则失效.如：xxxxxeeeelim事实上：xxxxxeeeelim有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.如：xxxx3sincos1seclim220xxxx3sincostanlim220220)3(coslimxxxx.91cos91lim0xxxxxxxeeeelimxxxxxeeeelim.111lim22xxxee83)对数列极限的未定式,若想用洛必达法则,应先用以下定理:lim()()lim()lim()xnxfxAfnfx或4)想用洛必达法则之前应先(1)检查极限的类型是否为(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等.00型、型注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.9例3.求lim(1).nnnn分析:为用洛必达法则,必须改求112lim(1).xxxx法1:用洛必达法则0型但对本题用此法计算很繁!12limnn法2:112lim(1)nnnn1ln1nne12limnn1lnnn12lnlimnnn01(0)ueuu原式lim1nnn幂函数x及指数函数xe均为无穷大量.但它们趋于无穷大的“快慢”程度不一样.三者相比，函数最快，幂函数次之，对数函数最慢.指数，xln对数函数x时，当10练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（）2112ln(ln)2ln()limlimlim2lim011nnnnnnnnnAnn00sin1cos()limlimsin1cosxxxxxBxxxcos1sin()limlim1xxxxxCx不存在0001()limlimlim01lnxxxxDxxxB11012sin1(113,10)lim.ln(1)xxxxx年数分求极限练习：1[]2110ln(1)(111,10)lim[].xexxx年数分求极限练习：1[]e121.研究函数的性态:单调性,极值,凹凸性,拐点,渐近线,曲率.2.解决最值问题•目标函数的建立与简化，•最值的判别问题.3.其他应用:几何应用;证明不等式;研究方程实根等.三、导数应用---研究曲线的性态131.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.说明：(2)单调区间应首先为连续区间.(1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.①求)(xf的连续区间，②求，)(xf③求导数等于零的点和不可导点，④用以上的点分割定义区间，列表判断.(3)求单调区间(判断单调性)的步骤:()fx化为积商，()[,](,).1(,)()0()[,](2)(,)()0()[,]fxabababfxyfxababfxyfxab设函数在上连续，在内可导（）如果在内，则在上单调增加；如果在内，则在上定理：单调减少.在I上单调递增在I上单调递减定理:14定义:0()(),fxfx(1)则称为的极大点,0x称为函数的极大值;0()fx0()(),fxfx(2)则称为的极小点,0x称为函数的极小值.0()fx极大点与极小点统称为极值点.问：极值点是连续点吗？设内有定义，2.利用导数求函数的极值.注意：①极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最值：是对某个点的邻域而言、可以不是唯一的.极大值不一定都大于极小值.是整体的、唯一的.是局部的、相对的、②最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的内点处取得.xyo0x.。15定理1(必要条件)(费马定理)00()fxxx设函数在点处可导，且在点处.0)(0xf取得极值注意：1)可导函数的极值点驻点如：,3xy,00xy0x是驻点，0x但不是极值点.xyo即：｛可导函数的极值点｝｛驻点｝2)在0x点连续但不可导，0x也可能是极值点.如：,xy0x连续不可导，却是极小值点.13,yx如:在0x处连续不可导，也不是极值点.3)极值点的可疑点：（在定义域内部的）驻点,不可导点.即：｛极值点｝｛驻点，不可导点｝问：如何能快速的说明一个函数没有极值？16定理2(第一充分条件，极值第一判别法)0),(fxx设函数在的某邻域内连续且在去心邻域内有导数,0,xx当由小到大通过时()fx(1)“左正右负”,0();fxx则在取极小值0().fxx则在取极大值不是极值点.0x则说明：1)定理中的条件“连续”很重要，)(xf若不连续，即使)(xf变号，但0x未必是极值点.2)该定理适用于0x是驻点或不可导的连续点.(2)“左负右正”,()fx(3)“左右符号相同”,()fxxyo0x.。173)求极值的步骤:();fx(1)求定义区间，求导数(2)求驻点(0)(xf即方程的根)以及不可导点；(3)检查)(xf在驻点及不可导点左右的正负号，判断出极值点；(最好列表)(4)求极值.定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.183.连续函数最值的求法:★()[,]fxab求连续函数在闭区间上最值的方法步骤：12(1)()(,),,,mxxxfxab求在内的可疑极值点，(2)maxM(),()fafb(),()fafb★特别:•当大(小)值就是最大(小)值.•求•如果在区间内可导且只有一个极值点,则这个极I19yox2x1x221xx1)定义：()fxI设函数在区间上连续，(1)若恒有()fx则称的图形是凹的；(2)若恒有()fx则称的图形是凸的；yox1x221xx2x说明：曲线：凹（凸）弧：凹凸区间.I4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点.切线上的纵坐标凸函数的函数值弦上的纵坐标.凸弧:200(),()fxxIyfxI曲线在上向上凹0(),()fxxIyfxI曲线在上向上凸+–2)凹凸性的判定定理：注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间.连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.(1)定义:注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.3)曲线的拐点及其求法：注意2:拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.注意3:拐点的横坐标是连续区间内的点,不可能是区间的端点.注意4:拐点的横坐标的可疑点：()0,()fxfx不存在的点.()[,](,).1(,)()0()[,](2)(,)()0()[,]fxabababfxfxababfxfxab设在上连续，在内具有一阶和二阶导数（）如果在内，则在上的图形是凹的；如果在内，则在上的图形定理：是凸的.2100000(),()0,()0,(,())().fxxfxfxxfxyfx设函数在的邻域内三阶可导且而那末是曲线的拐点(2)求拐点方法:0()0fx且，或在0x处二阶不可导.若)(xf在0x的两侧异号，则点))(,(00xfx为拐点.若)(xf在0x的两侧不变号，拐点.则点))(,(00xfx不是设函数0()fxx在的邻域内二阶可导，yox方法2:方法1:(3)求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求函数的连续区间；求出；y求0y的根及y不存在的根；列表判断22为曲线的拐点（不是极值点）为的极值点（不是拐点）定理4(判别法的推广)：设在内具有阶连续导数且()yfx0()Uxn1000()()()0nfxfxfx但()0()0nfx1)n为奇数，则00(,())xfx()yfx2)n为偶数，则0x()yfx是极小点;是极大点.思考：为的极值点时，会不会是0x()yfx00,()xfx()yfx拐点？23曲线弯曲程度的描述——曲率;曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.(2)曲率(3)曲率半径32)1(yyKK12d1dsyx(1)弧微分:222(d)(d)(d).sxy思考：曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.5.曲率.TyxO),(DR),(yxMC1MMTR0M0xxxxxyodydxds24典型例题分析题型1.证明不等式可以利用：1)单调性2)中值定理3)泰勒公式4)凹凸性5)求最值例1.证明arctanln(1)(0).1xxxx证:()(1)ln(1)arctan,(0)xxxxx设(0)0,21()1ln(1)1xxx0，故0x时,单调增加,从而所以原不等式成立.()x0()(0)0,xx时,()(0,)x则在内连续可导,且(0),x25说明：1)用单调性证明不等式的步骤：①将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数().fx②判断的单调性.()fx③用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.2)为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.3)为证不等式可用的单调性.()0fx()fx01x如：时，11xxxeex思考:证明1ln(1)(01)1arcsinxxxxx时,如何设辅助函数更好?2()(1)ln(1)1arcsinxxxxx提示:（提示：两边取对数）26证:令则2()sin,πFxxx(0)0,Fπ()0,2F()Fx2cos,πx()Fxsinx0,π0,22sin.πxxx有证明:当时例2.2)π(0,x()[0,]2Fx在上是减函数.π02,x当时()(0)FxF有210π02,x当时()()2FxF有20是凸函数，()[0,]2Fx在上yox2()yFx所以函数值弦上的纵坐标()0Fxy弦即π02,x当时2sin.π