2004年潍坊市高三统一考试

2004年潍坊市高三统一考试数学试题（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）函数y=cos2(x+2)是（A）最小正周期是的偶函数（B）最小正周期是的奇函数（C）最小正周期是2的偶函数（D）最小正周期是2的奇函数（2）已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（A）x－y+1=0（B）x－y=0（C）x+y+1=0（D）x+y=0（3）函数y=x3－3x的最单调递减区间是（A）（－，0）（B）（0，）（C）（－1，1）（D）（－，－1），（1，－）（4）如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1，0，1)，b=(0，1，1)，那么这条斜线与平面所成的角是（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°（5）已知直线l⊥平面a，直线m平面，给出下列命题①a∥l⊥m；②a⊥l∥m；③l∥ma⊥;④l⊥ma∥。（A）①②③（B）②③④（C）②④（D）①③（6）已知a0，b0，a、b的等差中项是21，且a=a+a1，=b+b1，则a+的最小值是（A）3（B）4（C）5（D）6（7）已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），点P在线段AB上，且AP=tAB（0≦t≦1），则OA·OP的最大值为（A）3（B）6（C）9（D）12（8）设A、B是两个集合，定义A－B={x︱xA，且xB},若M={x︱︳x+1︱≦2，N={x∣x=∣sina，aR}，则M－N=（A）[－3，1]（B）[－3，0]（C）[0，1]（D）[－3，0]（9）如图所示，在正文体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（10）直线l是双曲线12222byax（a0，b0）的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是→→→→（11）在某次数学测验中，学号为i(i=1，2，3，4)的四位同学的考试成绩f（i）{90，92，93，96，98}，且满足f（1）f（2）f（3）f（4），则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（A）15种（B）10种（C）9种（D）5种（12）某书店发行一套教学辅导书，定价每套20元，为促销，该书店规定：购买不超过50套，按定价付款；购买51至100套，按定价的9折付款；购买100套以上，按定价的8折付款。现有钱1800元，问买书在套数最多为（A）120套（B）112套（C）100套（D）94套2004年潍坊市高三统一考试数学试题（文史类）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）将抛物线x+4=a(y－3)2(a≠0)按向量v=(4，－3)平移后所得抛物线的焦点坐标为_________。（14）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=A·sin(wt+6)(A0,w≠0)的图象如图所示，则当t=501秒时，电流强度是___________安。（15）如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA折起，使P1，P2，P3三点重合后为点P，则折起后二面角P－AB－C的余弦值为_____________。（16）已知函数f(x)=(21)x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1－∣x∣),则关于函数h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)的偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在（0，1）上为减函数。其中正确命题的序号为_________（注：将所有正确．．命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosa，sina），a(23,2)。（Ⅰ）若∣AC∣=∣BC∣，求角a的值；（Ⅱ）若AC·CB=－1，求aaatan12sinsin22的值。→→→→（18）（本小题满分12分）已知10件产品中3件是次品。（Ⅰ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（Ⅱ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？（19）（本小题满分12分）在等差数列{an}中，首项a1=1，数列{bn}满足bn=(21)an，且b1b2b3=641。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn.（20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正文形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。（Ⅰ）求异面直线PA与DE所成的角；（Ⅱ）求点D到面PAB的距离。（21）（本小题满分12分）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1,0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP·AM=0，点N的轨迹为曲线E。（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求∣HQ∣。→→→→（22）（本小题满分12分）已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg∣a+2∣(aR，且a≠－2)。（Ⅰ）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；（Ⅱ）命题P：函数f(x)在区间[(a+1)2，+]上是增函数；命题Q：函数g(x)是减函数。如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f(2)与3－lg2的大小。2004年潍坊市高三统一考试数学试题（文史）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。AACBDCCBCADB二、填空题：本大题共6小题，共74分。（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵AC=(cosa－3,sina),BC=(cosa,sina－3).………………………………（2分）∴∣AC∣=aaasin610sin)3(cos22。∣BC∣=aaasin610)3sin(cos22。………………………………（4分）由∣AC∣=∣BC∣得sina=cosa.又∵a)23,2(，∴a=45.…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由AC·BC=－1,得(cosa－3)cosa+sina(sina－3)=－1∵sina+cosa=32.①…………………………………………………………………（7分）又aaaaaaaaaacossin2cossin1cossin2sin2tan12sinsin222.……………………（9分）由①式两边平方得1+2sinacosa=94,∴2sinacosa=95,∴95tan12sinsin22aaa.…………………………………（12分）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为24731037CC，………（3分）至少有一件是次品的概率为1－2417247.…………………………………………（6分）（Ⅱ）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为nnCCC1103733.……（8分）由nnCCC11037330.6,即)!10(!!10106)!10()!3(!7nnnn，理解得：n（n－1）（n－2）9×8×6,…………………………………………………（10分）∵nN，n≦10，∴当n=9或n=10时上式成立。…………………………………………………………（11分）答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为2417；为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验。……………………………（12分）→→→→→→→→（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1，bn=(an)21.∴b1=21,b2=(ddb2131)21(,)21.…………………………………………………………（3分）由b1b2b3=641,解得d=1.…………………………………………………………………（5分）∴an=1+(n－1)·1=n.………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=（21）2.设Tn=a1b1+a2b2+…anbn=1·42)21(3)21(221…nn)21(,则432)21(3)21(2)21(121nT…1)21(nn…………………………………（8分）两式相减得32)21()21(2121nT…1)21()21(nnn……………………………(10分)∴Tn=nnnnnn2212)21(2211])21(1[21211.…………………………………(12分)（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO。∵四边形ABCD为正文形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角………………………………………………（3分）∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD。在Rt△PAD中，PD=AD=a，则PA=2a，∴EO=21PA=22a，又∵DE=a23，DO=22a，∴cos∠DEO=4622232212143222aaaaa。………………………………………（6分）（Ⅱ）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN。∵DC∥AB，DC面PAB，∴DC∥面PAB，∴D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离。……………………………………（7分）过M作MH⊥PN于H，∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，又∵AB⊥MN，PMMN=M，∴AB⊥面PMN。∴面PAB⊥面PMN，∴MH⊥面PAB，则MH就是点D到面PAB的距离。……………………………………………………（10分）在Rt△PMN中，MN=a，PM=a23，∴PN=22)23(aa=a721，∴MH=aaaaPNPMMN7212723。……………………………………………（12分）解法二：如图取DC的中点O，连PO，∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC，又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系O－xyz，则P（0，0，a23），A（a，－2a，0），B（a，2a，0），D（0，－2a，0），………………………………………………………………………（3分）（Ⅰ）E为PC中点，∵E（0，4a，a43），∴DE=（0，a43，a43），PA=（a，2a，a23），∴PA·DE=a43×（－2a）+a43×（－a23）=－a432，→→→→∣PA∣=2a，∣DE∣=a23，cosPA，DE=46232432aaaDEPADEPA，∴异面直线PA与DE所成的角为arccos46。……………………………………（6分）（Ⅱ）可求PA=（a，－2a，－a23），AB=（0，a，0），设面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则n⊥PA，n⊥AB,∴n·PA=xa－2ay－a23z=0，①n·AB=ya=0，②由②得y=0，代入①得xa－a23z=0，令x=3，则z=2，∴n=（3，0，2）。…………………………………………………（9分）则D到面PAB的距离d等于DA在n上的射影的绝对值。d=∣DA∣∣cosDA·n∣=∣DA∣·aaaannDAnDAnDA721737)2,0,3()0,0,(.跟点D到面PAB的距离等于a721。……………………………