2004年量子力学期末试题及答案

2004年量子力学期末试题及答案一、（20分）已知氢原子在0t时处于状态213101122(,,0)()()()010333xxxx其中，)(xn为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出0t时的波函数。解已知氢原子的本征值为42212neEn，,3,2,1n（1）将0t时的波函数写成矩阵形式2311233(,0)23xxxx（2）利用归一化条件232***2311221212233d3332312479999xxcxxxxxcc（3）于是，归一化后的波函数为232311121297733(,0)72437xxxxxxx（4）能量的可能取值为123,,EEE，相应的取值几率为123412,0;,0;,0777WEWEWE（5）能量平均值为123442241207774111211612717479504EEEEee（6）自旋z分量的可能取值为,22，相应的取值几率为1234,0;,0277727zzWsWs（7）自旋z分量的平均值为340727214zs（8）0t时的波函数2233111i2iexpexp77(,)4iexp7xEtxEtxtxEt（9）二.（20分）质量为m的粒子在如下一维势阱中运动00VaxaxVxxV,00,0.0若已知该粒子在此势阱中有一个能量20VE的状态，试确定此势阱的宽度a。解对于00EV的情况，三个区域中的波函数分别为xBxkxAxxexpsin0321（1）其中，EmVEmk2;)(20（2）利用波函数再0x处的连接条件知，n，,2,1,0n。在ax处，利用波函数及其一阶导数连续的条件aaaa'3'232（3）得到aBnkaAkaBnkaAexpcosexpsin（4）于是有kkatan（5）此即能量满足的超越方程。当012EV时，由于1tan000mVmVamV（6）故40namV,3,2,1n（7）最后得到势阱的宽度041mVna（8）三、（20分）证明如下关系式（1）任意角动量算符ˆj满足ˆˆˆijjj。证明对x分量有ˆˆˆˆˆˆˆ=iyzzyxxjjjjjjj同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符ˆnpnn是一个厄米算符，其中，n是任意正交归一的完备本征函数系。证明在任意的两个状态与之下，投影算符ˆnp的矩阵元为ˆnpnn而投影算符ˆnp的共軛算符ˆnp的矩阵元为*****ˆˆˆnnnpppnnnnnn显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符ˆnp是厄米算符。利用*''kkkxxxx证明ˆˆxmkxmnknkxpxp，其中，kx为任意正交归一完备本征函数系。证明'''**''*'''*'*''*'*''ˆˆdˆddˆddˆddˆddˆxmxnmnmxnmnxmkknxkmkknxkmkxknkxpxxxpxxxxxxxpxxxxxxxpxxxxxxxpxxxxxxxpxxp四、（20分）在2L与zL表象中，在轨道角动量量子数1l的子空间中，分别计算算符ˆxL、ˆyL与ˆzL的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解在2L与zL表象下，当轨道角动量量子数1l时，1,0,1m，显然，算符ˆxL、ˆyL与ˆzL皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故ˆzL是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100ˆ000001zL（1）相应的本征解为1011;0000;100;01zzzLLL（2）对于算符ˆxL、ˆyL而言，需要用到升降算符，即1ˆˆˆ21ˆˆˆ2ixyLLLLLL（3）而ˆ11,1Llmllmmlm（4）当1,1,0,1lm时，显然，算符ˆxL、ˆyL的对角元皆为零，并且，ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10xyxyLLLL（5）只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,02iˆˆ1,01,11,11,02iˆˆ1,11,01,01,12xxxxyyyyLLLLLLLL（6）于是得到算符ˆxL、ˆyL的矩阵形式如下0100i0ˆˆ101;i0i220100i0xyLL（7）yLˆ满足的本征方程为3213210i0i0i0i02cccccc（8）相应的久期方程为02i02i2i02i（9）将其化为023（10）得到三个本征值分别为321;0;（11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为i2i21;10121;i2i21321（12）ˆxL满足的本征方程为1122330101012010cccccc（13）相应的久期方程为0202202（14）将其化为023（15）得到三个本征值分别为321;0;（16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为1231111112;0;2222111（17）五、（20分）由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项21ˆxxW（21,xx分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为1,1,2121nmnmnnnxm式中，。解体系的哈密顿算符为WHHˆˆˆ0（1）其中212221222210ˆ21ˆˆ21ˆxxWxxppH（2）已知0ˆH的解为2121021,1xxxxnEnnnn（3）其中nfnnn,,3,2,1,2,1,0,,21（4）将前三个能量与波函数具体写出来00001020111011212110202212102220122231112;2,3,ExxExxxxExxxxxx（5）对于基态而言，021nnn，10f，体系无简并。利用公式1,1,2121nmnmnmnnx（6）可知0ˆ0010WE010000020ˆˆnfnnnnEEWWE（7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有20232302ˆˆWW（8）于是得到基态能量的二级修正为32242020020841EEE（9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为0123332312312222113121211E（10）其中112233122113312332202（11）将上式代入（10）式得到12212212220200222EEE（12）整理之，12E满足23112240EE（13）于是得到第二激发态能量的一级修正为21231222121;0;EEE（14）