2005-06学年大气探测计算方法期末考试试题(A答案)

南京信息工程大学－2005～2006学年第1学期《计算方法》考试题-1-1南京信息工程大学试卷2005－2006学年第1学期《计算方法》课程试卷(A试卷)本试卷共2页；考试时间120分钟；任课教师雷金贵出卷时间2005年12月系专业学号姓名得分题号一二三四五六七总分得分阅卷人一、测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。试求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。（9分）解：面积s=ab,则绝对误差限为*)(**)(**)(*)*,(*)(*)*,(*)(beaaebbebbasaeabasse4分2241.01202.060|*)(||*||*)(||*||*)(|cmbeaaebse2分相对误差限为%33.06012024|**)(||*)(|sseser3分二、为求方程0123xx在5.10x附近的一个根，要求：1．给出求解方程根的两种迭代公式（4分）；2．判断两种迭代公式的收敛性；（6分）3．任意取一种收敛的迭代公式计算方程在5.10x的根，要求4110nnxx;（4分）4．推导出求解上述方程的Newton迭代公式。（6分）解：1、方程的三种等价形式为：南京信息工程大学－2005～2006学年第1学期《计算方法》考试题-2-2（1）211xx，相应的迭代公式为：2111nnxx2分（2）231xx，相应的迭代公式为：3211nnxx2分2、令211)(xx，35.12)5.1(1第一种迭代法收敛3分令321)(xx，3232225.2185.115.132)5.1(1,第二种迭代法收敛3分3、kkxkkx01.551.46624311.44214861.46587621.47270671.46571031.46881781.46563441.46704891.46560由于49810xx，取46560.19*xx4分4、直线的两点公式为：kxxyy00，把123kkkkxxxfy，01ky，1223kkkxxxfk带入方程整理得：12231231kkkkkkxxxxxxkkkkxxxx239291913226分三、给定方程组bAx，其中3010432110100201A，51334b，1、用gauss消去法给出方程组的准确解；（4分）2、用矩阵的直接三角分解法，给出矩阵的A的LU分解；（6分）南京信息工程大学－2005～2006学年第1学期《计算方法》考试题-3-33、计算bbbAA,,,,211。（5分）解：1、方程组得精确解为：1122x4分2、矩阵A的LU分解为：A＝LU＝212101020110101211016分3、79865.14219;13;25;10;8211bbbAA5分四、给定方程组95238222775421432143214321xxxxxxxxxxxxxxx1、写出Jacobi迭代法的迭代公式，判断其收敛性；（4＋2＝6分）2、写出Gauss-Seidel迭代法的迭代公式，判断其收敛性；（4＋2＝6分）3、任意取初始向量，用其中一种迭代法计算方程组的近似解，要求2)()1(10nnxx。（4分）解：1、Jacobi迭代公式为：kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx2113321133311243211295123812271751,2,1,0k4分系数矩阵是主对角占优矩阵，故Jacobi迭代法收敛；2分2、Gauss-Seidel迭代法公式为：南京信息工程大学－2005～2006学年第1学期《计算方法》考试题-4-4121113312111333111243211295123812271751kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx,2,1,0k4分系数矩阵是主对角占优矩阵，故Gauss-Seidel迭代法收敛；2分3、任意取初始值，求得近似解，（精确解为1112x）4分五、已知)(xf的以下下数据：x123)(xf1．00001．41421．73211．求以以如上数据为插值结点的Lagrange多项式；（6分）2.使用Lagrange插值多项式计算f(1.6)；（2分）3．给出插值多项式的误差估计式。（4分）4．给定数据表f(x)=lnx数据表xi2.202.402.602.80f(xi)0.788460.875470.955511.02962构造差商表，写出三次Newton差商插值多项式N3(x)。（6分）解：1、Lagrange插值多项式为：3121327321.13121324142.13121320.12xxxxxxxL=-0.048152x+0.55865x+0.48956分2、f(1.6)＝1.264912分3、误差估计式为：31,321!3)()3(，xxxfxR4分南京信息工程大学－2005～2006学年第1学期《计算方法》考试题-5-54、构造差商表如下：02250.0073875.037055.002962.180.2087375.040010.095551.060.243505.087547.040.278846.020.2][三阶差商二阶差商一阶差商iixfx4分N3(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)2分六、电流通过2Ω电阻，用伏安法侧得的电压电流如表I(A)1246810V(V)1.83.78.212.015.820.2用最小二乘法处理数据。（12分）解1.确定V=(I)的形式。将数据点描绘在坐标上可以看出这些点在一条直线的附近，故用线形拟合数据，即2分2.建立方程组。IaaV102分4.442,7.61,221,31,6616161261kkkkkkkkkViViim则法方程组为4.4427.612213131610aa6分3．求经验公式，解所得法方程组得032.2,215.010aa所求经验公式为V=-0.215+2.032I2分七、设有11)(dxxfA0(-1)+A1(0)+A2(1)成立，试求A0、A1、A2，使上述代数精度尽可能高，并求其公式的代数精度。（10分）解：设(x)=1，x，x2，则有2分A0+A1+A2=2南京信息工程大学－2005～2006学年第1学期《计算方法》考试题-6-6-A0+A2=0A0+A2=2/34分三式联立，得A0=1/3，A1=4/3，A2=1/3；则11)(dxxf[(-1)+4(0)+(1)]/32分取(x)=x3，左=右=0；但在(x)=x4时，左=∫-11x4dx=2/5右=2/3所以具有3次代数精度。2分