2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题及解答

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2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(2005-8-7)(O水平)1.展开式25(2-3+4)xx中x4的系数为。2.已知数列{},{}nnab满足21a,41b,且已知nnnnnnbabbaa66211,*nN,则nnnbalim=。3.已知:0,1ab,若以81664log,log,logababab为边长的三角形为直角三角形,则ab=。4.已知:在ABC中,角A,B,C所对三边分别为,,abc若23tancot13cABb则A=_______。5.已知直线l经过抛物线C:xy42的焦点,且斜率k2。l与抛物线C交于A,B两点,AB的中点M到直线)3(043:mmyxLm的距离为51,则m的取值范围为______.6.设定义域为(0,)的单调递增函数()fx满足对于任意(0,)x都有3()fxx,且3[()]2ffxx,则(5)f=。7.正方体八个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点,,,ABCD组成的二面角ABCD的可能值有个。8.已知集合M={a,b,c},N={2,4,8,…,220},又f是集合M到N上的一个映射,且满足[f(b)]2=f(a)·f(c),则这样的映射共有个。9.设f(z)=2z(cos6+icos23),这里z是复数,用A表示原点,B表示f(1+3i),C表示点-i4,则∠ABC=。10.已知sinsin()cos()3,,4则=___________。11.设有足够的铅笔分给7个小朋友,每两人得到的铅笔数不同,最少者得到1支,最多者得到12支,则有种不同的分法。12.设实数1,,zyx,记})1(,)1(,)1(min{zyxzyxzyxzyxM,则M的最大值为。13.集合M={x|x=2n,n∈N*,且n≤2005},已知22005是个604位数,则M中最高位是1的元素共有个。14.方程2!2nmkk的所有正整数解组(,)nm为。15.已知函数2()(0)fxaxbxca,并设22sin()cos()Mff,22(sincos)Nf当(),,2kkZR且时,M与N的大小关系为____________。16.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是_______。17.两个盒子中都装有黑、白两种弹子,两盒中弹子总数为25,每次随机从每个盒子中取出一颗弹子,两颗弹子都为黑色的概率为2750,都为白色的概率为mn,其中,mn为互质的正整数,则mn=_______。18.若nN,且2226,13,12nnn+1都为完全平方数,则所有满足条件的n的和为_______.19.若,,,xyzwZ,且2005222247wzyx,则wzyx=______________.20.已知22)cos5(cos)4sin4(sin)(xxxf的最小值为)(g,则)(g的最大值为______________.21.设80x,则1)8)(8()(2xxxxxf的值域为________________.22.已知m,n为正整数,p为质数。若nmPC12,则mnp的最大值为__________.23.已知5151arctan2681arctan381arctan101arctan81arctan454321nnnnn,且)5,,2,1(iZni,则),,,,(54321nnnnn=________________.24.函数1)(2xxxf,)()(xfn定义如下:)()()1(xfxf,))(()()1()(xffxfnn,记nr为0)()(xfn的所有根的算术平均值。则2005r25.如果一个正整数n在三进制表示下的各位数字之和可以被3整除,那么我们称n为“好的”则前2005个“好的”正整数之和为_______________.2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题答题纸(O水平)(2005-08-07)1641021234096465(3,2)612578820093010411127008012131360314(2,1)(3,3)(4,5)15MN162332a1726180192004200482102或204921[0,4]2272231224(5,2,1,2,1)2560350502005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(A水平)第一天(2005-8-7)1、已知:锐角△ABC中,AB=AC,P为BC边延长线上一点。X和Y分别为AB、AC边所在直线上的点,且满足PX∥AC,PY∥AB。T为△ABC外接圆劣弧BC的中点。证明:XYPT。2、已知:0,,cba,且1cabcab。求证:abcaccbba16161613333、在边长为1的正n(3n)边形12nPPP的内部或边界上任意放置不同的两点12,nnPP,试求:12minijijnPP的最大值。2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(A水平)第一天答案1、证明:(向量法)设∠BAC=θ,BC=a,CA=b,AB=c,AX设AXPCYCkABBCCA,则(1)XYXAAYkABkAC,(1)PTPBBTkCBBT,∴XYPT2(1)(1)(1)kkABCBkABBTkACCBkACBT2(1)cos(1)cos(1)()22kkackabkABBTkACBCCT2(1)sin(1)sin(1)sin0222kkackabkab∴XY⊥PT2、证明:∵1667abbccabcbbbcaaa,同理:167abccabc,167abaabcc∴1116668()()bccaabbcaabcabcabc2()36()3()3bccaababbccaabcabcabcabc设3()ftt,它是上凸函数,由琴生不等式知123123()()()()33fxfxfxxxxf∴3333111111666(6)(6)(6)133bcabcaabcabcabc∴左边33abc,又2313()abbccaabc,∴左边2333()31abcabcabcabc,即原不等式成立。3、解:取P1P2和nn1222PP垂直平分线上两点Pn+1、Pn+2,使得Pn+1、Pn+2在n边形内且P1Pn+1=Pn+1Pn+2=Pn+2n12P,下对n分奇偶讨论.(1)若n为偶数,设n=2k,(kN*),并设点O为n边形的中心,r=OPi(i=1,2,…,n),则有2rsinn=1,则P1P2与Pk+1Pk+2之间的距离为(k1)sin(k1)n2rsinnsinn,设Pn+1Pn+2=x,则考虑下式成立:2(k1)sin1nx2x4sinn,设(k1)sinntsinn,则原方程可化为24x1tx,两边平方,整理得:3x2+2tx(t2+1)=0,解得222t4t12(t1)x6,即24t3tx3(负值舍去),代入t,得22nn11224sin3sinsinnnnx3sinn,此时,}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji,①(由于当n时,显然相邻两顶点之间距离满足题意,所以,那时,最大值为1,事实上当n8时结论为1)下证明①式是PiPj最小值中最大的.反证:若存在一种方法,使得Pn+1、Pn+2到各顶点的距离及Pn+1Pn+2的最小值大于x,则以P1,P2,…,Pn为圆心,x为半径,在n边形内作弧,得到形内中间有一个曲边n边形A1A2…An.因为Pn+1、Pn+2在A1A2…An内,所以Pn+1Pn+2也在正n边形A1A2…An内,由此可得:Pn+1Pn+2x,矛盾.所以,当n为偶数时,}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji.(2)若n边奇数,设n=2k+1(kN*),设点O为n边形的中心,设OP1=r,则2k12k2POP2k1;2k1k1PP2rsin2k1,1k22kPOP2k1;1k2kPP2rsin2k1,取P1P2、Pk+1Pk+2中点M、N,则P1Pk+2//P2Pk+1//MN//Pn+1Pn+2,MN=rsink12k1+rsink2k1,且Pn+1MN=Pn+2NM=14k2.设Pn+1Pn+2=x,考虑下式成立:211k1kx2xcosrsinsin44k22k1sk1由于2rsin2k1=1,所以1r2sin2k1,代入变为2k1ksinsin12k12k14x1cosx4k22sin2k1,即22k112sincos4k24k24x1x12sincos2k14k2,P1MP2Pn+1Pn+2NPk+1Pk+222k1sin4k24x1x1sin2k1,两边平方,整理得222n2n22sinsin2n2n3x1011sinsinnn,解得22n2n24sin3sinsin2nn2nx3sinn.此时,}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji②同n为偶数一样,可以证明②为PiPj最小值中的最大值,综上所述,}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji.2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(2005-8-8)(A水平)第二天4、问:是否存在函数:fRR,满足:对所有实数x,有33()[()]()fxxxfxfx,并证明你的结论。5、求证:存在惟一的正整数列123,,,aaa使得21211321,1,(1)111nnnnnnaaaaaaaa(n=1,2,3,…)6、理科实验班共30名学生,每一名学生在班内均有同样多的朋友(朋友是相互的)。在一次考试中,任意两名学生的成绩互不相同。如果一个学生的所有朋友中,有超过一半朋友的成绩低于该学生,则称该学生为“好学生”。试问:“好学生”最多可能有多少个?证明你的结论。2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(A水平)第二天答案4.解:存在(而且唯一)。首先:由单调性,易证映射x→x3+x是一个双射,且为递增。下面我们证明更一般的结论:对于任何递增的双射g:R→R,函数f:R→R对所有xR满足:f(g(x))≤x≤g(f(x))的充要条件是f=g–1。事实上,f=g–1显然满足这个函数不等式,(作为不等式)反之,如果f满足函数不等式,则11()((()))()fxfggxgx,又因为g是单调递增的双射,所以1g也单调递增,则1()()gxfx。故,对所有实数x,都有f=g–1。故本题中,g(x)=x3+x,所以存在函数f(x)=g–1(x)5.先证惟一性设数列na满足题中所有条件.则2211323323223322111(1)111(1)11kkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaa将上式变形得:331212(

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