2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题解答与分析

12005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题（2005年4月10日上午9：30－11：30）答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分）1.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6.将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（）A.2B.4C.6D.8FABCDEEABCDDCBA(A)(B)(C)解答：由AB＝8，AD＝6=在(B)图中DB=AB-AD=2=在(C)图中BA=AD-DB=4，而∠DEA=45o，所以∠CEF=45o，因此CF=CE=DB=2，S△CEF=12×2×2=22.若223894613Mxxyyxy（x，y是实数），则M的值一定是（）A.正数B.负数C.零D.整数解答：解法1：223894613Mxxyyxy=2x2-8xy+8y2+x2-4x+4+y2+6y+9=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2由于当x=2y,x=2,y=-3不可能同时成立，所以M0。选A解法2：令Y=0，M=3x2-4x+13=2x2+x2-4x+4+9=2x2+(x-2)2+90所以B、C、D都不对。所以选A3.已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°解答：解法1：由于是选择题，这种题目一般取ABC为特殊三角形来验证是最快的解法，这里我们取三角形ABC为等边三角形，A1，B1，C1都在三角形ABC的外接圆上，所以△A1B1C1的外接圆与△ABC的外接圆是同一个，因此点B在△A1B1C1的外接圆上，所以选C2解法2：由A1，C1的对称性可知∠C1BA1=2∠ABC，∠C1B1I=12∠BAC，∠A1B1I=12∠BCA，∠C1B1A1=∠C1B1I+∠A1B1I=12(∠BAC+∠BCA)点B在△A1B1C1的外接圆可知，∠C1BA1+∠C1B1A1=180=12(∠BAC+∠BCA)+2∠ABC=180=12(∠BAC+∠BCA+∠ABC)+32∠ABC=180=32∠ABC=90=∠ABC=604.设2221114834441004A，则与A最接近的正整数是（）A.18B.20C.24D.25解答：4n2-4=4n2-22=4(n+2)(n-2)=1n-2-1n+24×(432-4+…+41002-4)=13-2-13+2+14-2-14+2+……+1100-2+1100+2=1+12+13+14-199-1100-1101-1102=2+112-199-1100-1101-110212×(2+112-199-1100-1101-1102)=25-12×(199+1100+1101+1102)12×(199+1100+1101+1102)489912所以与A最接近的正整数是25选D5.设a，b是正整数，且满足5659ab，0.90.91ab，则22ba等于（）A.171B.177C.180D.182解答：561.91a591.9=29.3561.91a591.930.1=a=30或者31如果a=30，b30×0.9=27b30×0.91=27.3无法选b如果a=30，b31×0.9=27.9b31×0.91=28.21b只能为28b2-a2=312-282=(31+28)×(31-28)=59×3=177选B二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大.解答：当OA⊥OB时，△OAB的面积最大，我们只须计算第一次OA⊥OB的时间设经过x秒钟后，第一次OA⊥OBx-x60=15(15秒为90o，分针走了x60)=x=900597.在直角坐标系中，抛物线2234yxmxm（m＞0）与x轴交于A，B两点.若A，B两点3到原点的距离分别为OA，OB，且满足1123OBOA，则m的值等于＿＿＿＿.解答：抛物线2234yxmxm（m＞0）与x轴交于(-3m2,0)，(-m2,0)两点，且OAOB所以OA=3m2，OB=m2，1123OBOA=2m-23m=23=m=28.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.解答：此题跟二进制有关，一般情况下，我们有n张牌，设2mn=2m+1，如果扑克牌的张数为2,22,…….,2n，按照上述操作方法，将剩下最后一张牌，现在手中的108张牌，按照上述操作方法，扔掉44张牌，手中剩64张牌，手中最后一张牌是原来的88号牌，因此去掉第一副54张牌，54去掉第二副大小王，54+2=56，去掉第二副黑桃、红桃，56+26=82，88-82=6，所剩的这张牌是方块69.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2.连结AD和BE，它们相交于点P.过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的的面积之比为＿＿＿＿.解答：如图：过E作EF∥AD，且交CB于F，则52EACEFDCF所以75255CDFD因为PQ∥CA，所以3314033287544PQBFBDBEBPEAPQ4因为PQ∥CA，PR∥CB，QR在AB上，所以△PQR～△CAB，故1089400)3320()(22CAPQSSCABPQR10.已知1x，2x，…，40x都是正整数，且124058xxx.若2221240xxx的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于＿＿＿＿.解答：2221240xxx取得最大值的策略是一个数取得尽可能大，其余数取的最小不妨设1x最大，那么1x最大可取58-39=19最大值为=192+39=4002221240xxx取得最小值的策略是所有的数取得尽可能接近，由于158402，我们取58-40=18个2，40-18=22个1就可最小值为=18*22+22=94A＋B=400+94=94三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）.其中一辆小汽车在距离火车站10km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟.这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h..试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.解答：由于这辆车的平均速度是60km/h=1km/m(m表示一分钟)，小车送4个人去机场，再回来接另外四个人去机场，需要走30km，30km/1km=30分钟，显然这个方案不行我们可以看到司机送4个人去机场的时候，另外四个人原地不动是个浪费，让他们往机场方向走就可以减少汽车走的路程缩小时间，现在我们计算这个方案花的时间：我们设后面四个人往机场走了x分钟与回来的汽车相遇(此时人的平均速度是1/12km/m)，可列方程x12+(x-10)=10(说明：x12是相遇时人走的路程，x-10相遇时汽车返回走的路程)解方程x=24013分钟四个人往机场走了112×24013=2013km汽车还须走10-2013=11013分钟这个方案花的时间是24013+11013=35013=26121328，这个方案满足要求但这个方案并不是花的时间最少的，我们可以看到司机送最初4个人去机场的时候，并不需要5送到机场，可以送到机场不到，然后4个人走到机场，离机场的距离刚好是4个人走这段距离所花的时间与汽车放下他们后去接另外四个人到机场所花的时间相等设这时汽车送最初四个人到机场所花的走了y公里，显然汽车花了y分钟我们同样设后面四个人往机场走了x分钟与回来的汽车相遇，我们可列方程组x12+(x-y)=y(说明：x12是相遇时人走的路程，x-y相遇时汽车返回走的路程)12×(10-y)=(x-y)+(10-x12)解方程x=16y=263这个方案花的时间是263+(10-263)×12=2423(说明：(10-263)×12是最初4个人在下车后往机场走的时间)当然这个问题的思想是汽车需要节省两分钟时间，由于是一来一回，司机送4个人去机场的时候，在回来接另外四个人的时候，另外四个人往机场走的时间至少相当于汽车的一分钟即可。汽车走一分钟相当于人走60/5=12分钟，现在让四个人往机场走12分钟，由于汽车要赶到这个地方需要20-1=19分钟，所以四个人再往前走，直到碰到汽车为止，这时候汽车走的时间显然小于19分钟，往机场的时间小于9分钟，所以这个方案可以这8个人能够在停止检票前赶到火车站。12.如图，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C，D两点.连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点.求证：（1）BPNQPMQB；（2）△KPM∽△NQK解答：(1)M弧BC的中点=∠CBM=12∠CAB=N是弧BD的中点=∠NBQ=12∠DAB∠CBM+∠NBQ=12(CAB+DAB)=90P，Q分别是BC，BD的中点=BPM=BQN=90∠CBM+∠PBM=90=∠PBM=∠QNB所以△BPM∽△NQB=BPNQPMQB(2)由于PK=BQ=12BDNMKQPDCBA6KQ=PB=12BC所以BPNQPMQB=PMPK=QKQN而∠BPK+∠PBD=180∠KQB+∠PBD=180所以∠BPK=∠KQB=∠KPM=∠NQK所以△KPM∽△NQK13.已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程281050xpqxpq至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）.解答：方程281050xpqxpq有一个正整数根，设为x1，另一个根为x2，那么x2=8p-10q-x1，所以x2也是整数再由x2=5pq/x10，x2也是正整数由x1×x2=5pq，p、q为质数，所以5pq的约数只有1,5,p,q,5p,5q,pq,5pq由x1和x2的对称性x1和x2可以为下面四对x1=1x2=5pqx1=5x2=pqx1=px2=5qx1=5px2=q现在分组讨论(1)x1=1x2=5pqx1+x2=5pq+1=8p-10q由于q2，所以5pq+110p8p-10q，所以这种情况没有解(2)x1=5x2=pqx1+x2=pq+5=8p-10q=(p+10)(q-8)=-85=-(5*17)此时p+1010，所以p+10只可能等于17，85p+10=85=p=75不是质数p+10=17=p=7是质数因此q-8=-5=q=3是质数质数对(7，3)满足要求(3)x1=px2=5qx1+x2=p+5q=8p-10q=15q=7p显然15|p，p不可能为质数，这种情况没有解(4)x1=5px2=qx1+x2=5p+q=8p-10q=11q=3p由于11|p，p为质数，因此p=11=q=3质数对(11，3)满足要求714.从1，2，…，205共205个正整数中，最