2005年全国初中数学联赛初赛试卷

2005年全国初中数学联赛初赛试卷一、选择题（每小题7分，共42分）1．若a，b为实数，则下列命题中正确的是（）A．aba2b2B．aba2≠b2C．∣a∣ba2b2D．a∣b∣a2b22．已知a+b+c=3，2223,abc则200520052005abc的值是（）A．0B．3C．20052D．2005323．有一种足球是由若干个黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形（如图）．如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）A．16块B．18块C．20块D．22块4．在RtΔABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程2(21)4(1)0xmxm的两根，则m的值是（）A．4B．-1C．4或-1D．-4或15．在直角指标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）A．2个B．4个C．6个D．8个6．如图，直线x=1是二次函数2yaxbxc的图象的对称轴，则有（）A．a+b+c0B．ba+cC．c2bD．abc0二、填空题（每小题7分，共28分）1．已知x为非零实数，且1212xxa，则21xx．2．已知a为实数，且使关于x的二次方程220xaxa有实根，该方程的根x所能取到的最大值是．3．P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，APC的平分线交AC于Q，则PQC=．对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab，则称n为一个“好”数，例如3=1+1+11，则3是一个“好”数，在1~~20这20个自然数中，“好”数有个．三、（本题20分）设A、B是抛物线2242yxx上的点，原点位于线段AB的中点处，试求A，B两点的坐标．四、（本题25分）如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB．连结OC交⊙O于D，BD的延长线交AC于E，求AE的长．五、（本题25分）设,,xabcyacbzbca，其中a，b，c是待定的质数，如果2xy，2zy，试求积abc的所有可能的值．2005年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案1、D2、B3、C4、A5、C6、C思路：1、略2、222111abc=222230abcabc∴a=b=c=1于是2005200520053abc∴选B3、设白皮有x块，因为正六边形白皮中有3边是正五边形黑皮的边，所以，31215x，x=20选C4、设方程的根为12,xx，依题意222121212252xxxxxx=22181mm即2340mm解得m=4或-1但12,xx0，2m-10所以m0故m=4选A5、由题意可知，x–3=k（x+1），所以K=34111xxx但k为整数，于是x+1=±1，±2，±4，k可取6个值，选C6、当x=1时，y=a+b+c0；当x=-1时，y=a-b+c0排除A、B。又易知a0，b0，c0，有abc0，排除D．故选C．二、21.2;a322.23、0454、12详解：1、由1212xxa两边平方得12xxa故21212xxxax2、a为实数，当0a时，关于a的二次方程220xaax有实根，于是140x322x．当a=0时，x=0综上，322x．2、连结OC，因PC与⊙O相切与点C，则OCPCOAOC12OACOCAPOC，12APQCPQAPC又故0011904522PQCPACAPQPOCAPC4、11(1)(1)nababab为合数，所求的n即为2~~~21之间的合数少1的数．2~~21之间的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、1、20、21共12个，故所求的n有12个。为3、5、7、8、9、10、11、13、14、15、17、19、20．三、解：设Ａ点的坐标是（a，b），则因为原点是ＡＢ的中点，故A和B是关于原点的对称的，即B点的坐标是（-a，-b）………………………..5分A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线的解析式，得22242242...............10baabaa分解之得：a=1b=4或a=-1b=-4…………15分故A点的坐标为（1，4）或（-1，-4），B点的坐标为（1，4）或（-1，-4）……20分四、解：如图，连结AD则1234∴ΔCDE∽ΔCAD有CDCADEAD⑴…………….5分又ΔADE∽ΔBADAEABDEAD（2）……….10分由（1）、（2）及AB=AC得AE=AC…….15分又1A知CD是⊙ADE的切线22CDCECACECA即AE……20分令AE=x，则CE=d-x，于是有2220xddxxdxd即解此方程并取正根，得AE=x=512d……25分五、解：因为a+b+c-c=x,a+c-b=y,b+c-a=z,联列解得（a,b,c）=(111,,222xyxzyz)………5分又2yx，于是有：21,2axx（1）21,2bxz（2）21,2cxz（3）由（1）解得x=1182a（4）因x是整数，得218aT，其中T是正奇数，……10分于是，21212TTa2，又a是质数，故只能有12Ta，122T所以T=3，a=3……………….15分代a=3入（4）得x=2，-3当x=2时，y=2x=4，因而有22,16zz，代人（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去….20分当x=-3时，y=9，32,z所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17故abc=31117561………….25分．