2005年厦门数学中考试题

厦门市2005年初中毕业和高中阶段各类学校招生考试数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）考生须知：1.解答的内容一律写在答题卡上，否则以0分计算.交卷时只交答题卡，本卷由考场处理，考生不得擅自带走.2.作图或画辅助线要用0.5毫米的黑色签字笔画好.一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.1.下列计算正确的是A.－1＋1＝0B.－1－1＝0C.3÷13＝1D.32＝62.下列事件中是必然事件的是A.打开电视机，正在播广告.B.从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球.C.从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上.D.今年10月1日，厦门市的天气一定是晴天.3.如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝A.35B.45C.34D.434.下列关于作图的语句中正确的是A.画直线AB＝10厘米.B.画射线OB＝10厘米.C.已知A、B、C三点，过这三点画一条直线.D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.5.“比a的32大1的数”用代数式表示是A.32a＋1B.23a＋1C.52aD.32a－16.已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是A.ADAB＝AEACB.AEBC＝ADBDC.DEBC＝AEABD.DEBC＝ADAB7.已知：a＋b＝m，ab＝－4,化简（a－2）（b－2）的结果是A.6B.2m－8C.2mD.－2m二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）8.－3的相反数是.9.分解因式：5x＋5y＝.10.如图3，已知：DE∥BC，∠ABC＝50°,则∠ADE＝度.E图3DCBA图1CBAE图2DCBA11.25÷23＝.12.某班有49位学生，其中有23位女生.在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀.如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是.13.如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD＝厘米.14.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.15.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：1u＋1v＝1f.若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝厘米.16.已知函数y＝－3x－1－22，则x的取值范围是.若x是整数，则此函数的最小值是.17.已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°,则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1（，），B1(，).三、解答题（本大题共9小题，共89分）18.(本题满分7分)计算：22＋(4－7)÷32＋(3)019.(本题满分7分)一个物体的正视图、俯视图如图5所示，请你画出该物体的左视图并说出该物体形状的名称.20.(本题满分8分)某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：年龄组13岁14岁15岁16岁参赛人数5191214(1)求全体参赛选手年龄的众数、中位数；（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%.你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由.21.(本题满分10分)如图6，已知：在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC且交AC于D.（1）若∠BAC＝30°，求证:AD＝BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.22.(本题满分10分)某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元.图5俯视图正视图O图4EDCBA图6PDCBA（1）试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？23.(本题满分10分)已知：如图7，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，(1)求证：△CPB≌△AEB；(2)求证：PB⊥BE；(3)若PA∶PB＝1∶2，∠APB＝135°,求cos∠PAE的值.24.(本题满分12分)已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x2＞x1），(1)若点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上，求m的值；（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋m与抛物线y＝x2－2x＋m关于y轴对称，点Q1（－2，q1）、Q2（－3，q2）都在抛物线y＝ax2＋bx＋m上，则q1、q2的大小关系是（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）（3）设抛物线y＝x2－2x＋m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值.25.(本题满分12分)已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.（1）如图8，求证：AC是⊙O1的直径；（2）若AC＝AD，①如图9，连结BO2、O1O2，求证：四边形O1CBO2是平行四边形；②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧︵MB上任取一点E（点E与点B不重合）.EB的延长线交优弧︵BDA于点F，如图10所示.连结AE、AF.则AEAB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明.（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）26.(本题满分13分)已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y＝kx(k＞0)上的O2O1图8DCBAO2O1图9DCBAFMO2O1图10EDCBA图7PEDCBA点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m).设△OPA的面积为s，且s＝1＋n44.（1）当n＝1时，求点A的坐标；（2）若OP＝AP，求k的值；(3)设n是小于20的整数，且k≠n42，求OP2的最小值.厦门市2005年初中毕业和高中阶段各类学校招生考试数学评分标准及参考答案一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）题号1234567选项ABBDACD二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）8.3；9.5(x＋y)；10.50度；11.4；12.2349；13.6厘米14.甲；15.24厘米；16.x≤－13，－2；17.A1(2，0)，B1(22，22）注：8~15题每空4分；16、17题每空2分.第11题写成22不扣分.三、解答题（本大题共9小题，共89分）18.(本题满分7分）解：22＋（4－7）÷32＋(3)0＝4－3×23＋1……4分＝4－2＋1……5分＝3……7分注：每步运算1分.19.(本题满分7分)解：左视图：……3分该物体形状是：圆柱.……7分20.（本题满分8分）(1)解：众数是：14岁；中位数是：15岁.……4分(2)解1：∵全体参赛选手的人数为：5＋19＋12＋14＝50名……5分又∵50×28%……6分＝14（名）……7分∴小明是16岁年龄组的选手.……8分解2：∵全体参赛选手的人数为：5＋19＋12＋14＝50名……5分又∵16岁年龄组的选手有14名，而14÷50……6分＝28%……7分∴小明是16岁年龄组的选手.……8分注：第（1）小题的众数、中位数各2分.21.（本题满分10分）(1)证明：∵∠BAC＝30°∠C＝90°∴∠ABC＝60°……1分又∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝30°……2分∴∠BAC＝∠ABD……3分∴BD＝AD……4分(2)解1：∵∠C＝90°∴∠BAC＋∠ABC＝90°……5分∴12(∠BAC＋∠ABC)＝45°……6分∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠BAP＝12∠BAC∠ABP＝12∠ABC……8分即∠BAP＋∠ABP＝45°……9分∴∠APB＝180°－45°＝135°……10分解2：∵∠C＝90°∴∠BAC＋∠ABC＝90°……5分∴12(∠BAC＋∠ABC)＝45°……6分∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠DBC＝12∠ABC∠PAC＝12∠BAC……8分∴∠DBC＋∠PAD＝45°……9分∴∠APB＝∠PDA＋∠PAD＝∠DBC＋∠C＋∠PAD＝∠DBC＋∠PAD＋∠C＝45°＋90°＝135°……10分22.（本题满分10分）(1)解：y＝50000＋200x……4分(2)解1：设软件公司至少要售出x套软件才能确保不亏本，则有：700x≥50000＋200x……7分解得：x≥100……9分答：软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本.……10分解2：每套成本是50000x＋200……5分若每套成本和销售价相等则：700＝50000x＋200……7分解得：1＝100x∴x＝100……9分答：软件公司至少要售100套软件才能确保不亏本.……10分解3：每套成本是50000x＋200……5分图6PDCBA由题意得：700≥50000x＋200……7分解得：1≥100x∴x≥100……9分答：软件公司至少要售100套软件才能确保不亏本.……10分注：第（1）小题的解析式可以不写x的取值范围.23.（本题满分10分）(1)证明：∵四边形ABCD是正方形∴BC＝AB……1分∵∠CBP＝∠ABEBP＝BE……2分∴△CBP≌△ABE……3分(2)证明：∵∠CBP＝∠ABE∴∠PBE＝∠ABE＋∠ABP……4分＝∠CBP＋∠ABP＝90°……5分∴PB⊥BE……6分（1）、（2）两小题可以一起证明.证明：∵∠CBP＝∠ABE∴∠PBE＝∠ABE＋∠ABP……1分＝∠CBP＋∠ABP＝90°……2分∴PB⊥BE……3分以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°，……4分∵BC＝AB∠CBA＝∠PBE＝90°BE＝BP……5分∴△CBP与△ABE重合∴△CBP≌△ABE……6分(3)解：连结PE∵BE＝BP∠PBE＝90°∴∠BPE＝45°……7分设AP为k，则BP＝BE＝2k∴PE2＝8k2……8分∴PE＝22k∵∠BPA＝135°∠BPE＝45°∴∠APE＝90°……9分∴AE＝3k在直角△APE中：cos∠PAE＝APAE＝13……10分24.（本题满分12分）(1)解：∵点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上……1分∴2＝(－1)2－2×(－1)＋m……2分∴m＝－1……3分(2)解：q1＜q2……7分(3)解1：∵y＝x2－2x＋m图7EPDCBA＝(x－1)2＋m－1∴M(1，m－1)……8分∵抛物线y＝x2－2x＋m开口向上，且与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）∴m－1＜0∵△AMB是直角三角形，又AM＝MB∴∠AMB＝90°△AMB是等腰直角三角形……9分过M作MN⊥x轴，垂足为N.则N（1，0）又NM＝NA∴1－x1＝1－m∴x1＝m……10分∴A(m，0)∴m2－2m＋m＝0∴m＝0或m＝1（不合题意，舍去）……12分解2：又NM＝NA＝NB∴x2－x1＝2－2m∴x2＋x1＝2x2－x1＝2－2m解得：x1＝mx2＝2－m……10分∴A(m，0)∴m2－2m＋m＝0∴m＝0或m＝1（不合题意，舍去）……12分25.（本题满分12分）(1)证明：∵CD⊥AB……1分∴∠ABC＝90°……2分∴AC是⊙O1的直径……3分(2)①证明1：∵CD⊥AB∴∠ABD＝90°∴AD是⊙O2的直径……4分∵AC＝AD∵CD⊥AB∴CB＝BD……5分∵O1、O2分别是AC、AD的中点∴O1O2∥CD且O1O2＝12CD＝CB……6分∴四边形O1CBO2是平行四边形……7分证明2：∵CD⊥AB∴∠ABD＝90°∴AD是⊙O2的直径……4分∵AC＝AD∵CD⊥AB∴CB＝BD……5分∵B、O2分别是CD、AD的中点∴BO2∥AC且BO2＝12AC＝O1C……6分∴四边形O1CBO2是平行