2005年湖南省数学竞赛试卷

2005年湖南省数学竞赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题甲：10031002yx或；命题乙：2005yx，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2，如果圆222nyx至少覆盖函数nxxfsin3)(的一个最大点和一个最小点，则正整数n的最小值为（）A．1B．2C．3D．43．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（）A．43B．32C．53D．1094．对于,Rx函数)()2()2(xfxfxf，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（）A．4B．6C．8D．125．函数)(xfy的图象为C，而C关于直线1x对称的图象为1C，将1C向左平移1个单后得到的图象为2C，则2C所对应的函数为（）A．)(xfyB．)1(xfyC．)2(xfyD．)3(xfy6．当ba,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（）A．2)1()1)(1(ababbbaaB．2)22()1)(1(bababbaaC．babababa222233D．223322babababa7．记xyyxAxy)1)(1(22，若abccba，则abacbcAAAA的值为（）A．3B．3C．4D．48．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（）A．17043B．17044C．17045D．170469．若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A．64B．66C．68D．7010．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（）A．1B．nC．21nD．21n二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)11．设Rx，对于函数)(xf满足条件35)1(242xxxf，那么对所有的Rx，)1(2xf_______________;12．一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A与点)0,8(B重叠，若点)8,6(C与点),(nmD重叠，则nm_______________;13．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为______;14．集合X中的元素是正整数，且有性质：若XxXx12,则，这样的集合X共有_____________个。三、解答题：（本大题5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（本小题满分12分）数列}{na满足nnnnnabNnaaaa11,,,21211，nnnnbbbPbbbS2121,，试求nnSP2的值。16．（本小题满分12分）已知D是面积为1的三角形ABC的边AB上的任意一点，E是边AC上任意一点，连结DE，F是线段DE上的任意一点，设,,,zDEDFyACAExABAD且21xzy，试求三角形BDF的面积的最大值。CEBDA17．（本小题满分12分）过点)4,223(P作一条直线和轴轴、yx分别相交于NM、两点，试求MNONOM的最大值。（其中O为坐标原点）18．（本小题满分16分）若正数cba,,满足baccabcba求证4117cab19．（本小题满分14分）从岳阳到郴州的快速列车包括起始和终点共有六站，将这六站分别记为A,B,C,D,E,F,有一天张兵和其他18位旅客乘同一车厢离开岳阳，这些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，认识所有同车厢旅客的张兵观测到：除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢上的湖南人的数目与下车旅客的数目相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢。张兵又进一步观测到，当火车离开车站B时，车厢内有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢内；当他准备在F站下车时，还有5名旅客在这一车厢内。试问开始时火车的这一节车厢有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中这些数目如何变化？2005年湖南省数学竞赛试卷（参考答案）一：选择题1．B提示：从原命题的等价命题逆否命题来考虑2．B提示：因为nxxfsin3)(为奇函数，图象关于原点对称，所以圆222nyx只要覆盖)(xf的一个最值点即可，令2nx，解得)(xf距原点最近的一个最大点)3,2(nP，由题意222)3()2(nn得正整数n的最小值为23．C提示：由222,422cbabca，消去b得ca53，所以53ace4.D提示：将2x代替式中的x，则有)2()4()(xfxfxf于是)4()2(xfxf，可得)()6(xfxf，所以)()12(xfxf5．B提示：)2(:1xfyC,)1()]1(2([:2xfxfyC6.B提示：当5,1ba时，4.10)1)(1(bbaa，而1049100)22(2baba7．C提示：令3cba，则答案为48．A提示：设第n辆车装货物na箱，由题意得：200551aaa，200262aaa…实际象以4为周期的数列，答案为17043934420049．B提示：由2，3，5的最小公倍数为30，由2，3，5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2。3。5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿国的小长方体的个数应为3的倍数，故答案为B10．C提示：当n=2时，打开柜门需要的次数为23，故答案为C或已知每一位学生打开柜门的概率为n1，所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为2111211nnnnn，故答案为C二、填空题：11．用换元法可得9)1(242xxxf12．可解得对称轴方程为62xy，由2168,6)6(28mnmn得2,7,6.7nm，所以8.14nm13．3242a，提示：可把正四面体变为正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a22于是球的半径为a42，3242aV14．63个提示：记}6),7,5(),8,4(),9,3(),10,2(),11,1{(Y，故满足条件的集合为63126个三、解答题：15．解：因为Nnaaaannn,,21211，所以)1(,01nnnnnaaaaa所以11121111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaab，1132212121nnnnnaaaaaaabbbP，1132212112)11()11()11(nnnnnaaaaaaabbbS，故2)12(1211nnnnaaSP16．解：连结BE，则三角形BDF的面积为yxzySxzSxzzSSABCABEBDEBDF)1()1()1(由均值不等式，得81]3)1([)1(3yxzyxz，当且仅当21,1xzyyxz即21zyx时等号成立，所以三角形BDF的面积的最大值为81。17．解：过点)4,223(P作一圆与x轴、y轴分别相切于点A、B，且使点)4,223(P在优弧AB上，则圆的方程为9)3()3(22yx，于是过点)4,223(P作圆的切线和x轴、y轴分别相交于11,NM两点，圆为11NOMRt的内切圆，故61111NMONOM若过点P的直线MN不和圆相切，则作圆的平行于MN的切线和x轴、y轴分别相交于00,NM两点，则60000NMONOM由折线00MNNM的长大于00NM的长及切线长定理，得MNNNONMMOMMNONOM)()(00006)]([)(000000000000NMONOMNNMNMMNMNMONOM所以，MNONOM的最大值为6。18．证明：由条件，有cbabaccab，令zacycbxba,,；则2,2,2xzyczyxbyzxa，从而原条件可化为：,1411yxzyzxzyxzxzyzyx令,tzyx则14tt，解得21712171tt或，故41172122tzzyxcab19．解：由条件得在B站有7人下车，即19个旅客中有7个湖南人，在E站有2人下车，即在D—E途中有2位湖南人，C—D中至少有2位湖南人，在D站至少有2人下车，所以C站后车厢内至少有9个人，又因为22712，所以B—C途中至少有3个湖南人，因此经过C站后车厢内至多9人，故经过C站后车厢内有9人综上所述，AB段有7个湖南人，12个湖北人，B站有4个湖南人，3个湖北人；C站有1个湖南人，2个湖北人下车，D站有2个湖北人下车，E站有2个人下车。