2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之三数学思维的严密性

2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之三数学思维的严密性一、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数xy)31(是一个减函数”就是一个错误判断。推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。例如，解不等式.1xx解,1,12xxx,1x或.1x这个推理是错误的。在由xx1推导12x时，没有讨论x的正、负，理由不充分，所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。(1)有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案）例1、不等式).23(log)423(log2)2(2)2(22xxxxxx错误解法,122x,2342322xxxx.223,0622xxxx或错误分析当2x时，真数0232xx且2x在所求的范围内（因232），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。正确解法122x2342302304232222xxxxxxxx2231231313131xxxxxx或或或.22xx或例2、求过点)1,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点。错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1kxy，则它与抛物线的交点为xykxy212，消去y得：.02)1(2xkx整理得.01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0解得.21k所求直线为.121xy错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1kxy时，没有考虑0k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1,0(，所以,0x即y轴，它正好与抛物线xy22相切。当所求直线斜率为零时，直线为,1y平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点。设所求的过点)1,0(的直线为1kxy)0(k则xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得.21k所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121,0,1xyxy(2)判断的训练造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。①注意定理、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。例3、实数m，使方程021)4(2miximx至少有一个实根。错误解法方程至少有一个实根，.020)21(4)4(22mmiim,52m或.52m错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法设a是方程的实数根，则.0)24(1,021)4(22imamaamiaima由于ma、都是实数，024012mamaa解得.2m例4已知双曲线的右准线为4x，右焦点)0,10(F,离心率2e,求双曲线方程。错解1.60,40,10,422222acbaccax故所求的双曲线方程为.1604022yx错解2由焦点)0,10(F知,10c.75,5,2222acbaace故所求的双曲线方程为.1752522yx错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解1设),(yxP为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4x，右焦点)0,10(F，离心率2e，由双曲线的定义知.2|4|)10(22xyx整理得.14816)2(22yx正解2依题意，设双曲线的中心为)0,(m则.21042acmcmca解得.284mca所以,481664222acb故所求双曲线方程为.14816)2(22yx②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用我们知道：如果A成立，那么B成立，即BA，则称A是B的充分条件。如果B成立，那么A成立，即AB，则称A是B的必要条件。如果BA，则称A是B的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。例5解不等式.31xx错误解法要使原不等式成立，只需,)3(103012xxxx解得.53x错误分析不等式BA成立的充分必要条件是：200BABA或00BA原不等式的解法只考虑了一种情况2)3(10301xxxx，而忽视了另一种情况0301xx，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。正确解法要使原不等式成立，则2)3(10301xxxx或0301xx53x，或.31x原不等式的解集为}51|{xx·P·C(3,0)yxO图3－2－1MN例6（轨迹问题）求与y轴相切于右侧，并与⊙06:22xyxC也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为.9)3(22yx设点)0)(,(xyxP为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与y轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得3||||PMCP，即.3)3(22xyx化简得).0(122xxy错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以)30(0xxy且也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是和)0(122xxy)30(0xxy且。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。③防止以偏概全的错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。例7设等比数列na的全n项和为nS.若9632SSS，求数列的公比q.错误解法,2963SSSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131.012(363）＝整理得qqq124,0)1)(12(.012033336qqqqqqq或得方程由错误分析在错解中，由qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131.012(363）＝整理得qqq时，应有.101qa和在等比数列中，01a是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1q的情况，再在1q的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若1q，则有.9,6,3191613aSaSaS但01a，即得,2963SSS与题设矛盾，故1q.又依题意,2963SSS可得qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131.012(363）＝整理得qqq即,0)1)(12(33qq因为1q，所以,013q所以.0123q所以.243q说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。④避免直观代替论证我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。例8（如图3－2－2），具有公共y轴的两个直角坐标平面和所成的二面角轴－y等于60.已知内的曲线C的方程是)0(22pxpy，求曲线C在内的射影的曲线方程。错误解法依题意，可知曲线C是抛物线，在内的焦点坐标是.0),0,2(ppF因为二面角轴－y等于60，且轴，轴轴，轴yxyx所以.60xxo设焦点F在内的射影是),(yxF，那么，F位于x轴上，从而,90,60,0FOFOFFy所以.421260cosppFOOF所以点)0,4(pF是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C在内的射影的曲线方程是.2pxy错误分析上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为曲线）的焦点，是射影(F其次，未经证明C默认条抛物线内的射影（曲线）是一在。正确解法在内，设点),(yxM是曲线上任意一点（如图3－2－3）过点M作MN，垂足yOxxF·图3－2－2yOxxF·图3－2－3MNH为N，过N作yNH轴，垂足为.H连接MH，则yMH轴。所以MHN是二面角轴－y的平面角，依题意，MHN60.在.2160cos,xHMHNMNHRt中又知xHM//轴（或M与O重合），xHN//轴（或H与O重合），设),(yxN，则.221yyxxyyxx因为点),(yxM在曲线)0(22pxpy上，所以).2(22xpy即所求射影的方程为).0(42ppxy(3)推理的训练数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。例9设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率23e，已知点)23,0(P到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。错误解法依题意可设椭圆方程为)0(12222babyax则43122222222ababaace，所以4122ab，即.2ba设椭圆上的点),(yx到点P的距离为d，则222)23(yxd