《通信原理》_樊昌信_曹丽娜(第六版)第10章_数字信号最

1通信原理2通信原理第10章数字信号最佳接收3第10章数字信号最佳接收10.1数字信号的统计特性以二进制为例研究接收电压的统计特性。假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有P(0)+P(1)=1若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值：，则有k＝2fHTs。4第10章数字信号最佳接收由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为式中，n－噪声的标准偏差；n2－噪声的方差，即噪声平均功率；i＝1，2，…，k。设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为222exp21)(nininnf),,,(21kknnnf5第10章数字信号最佳接收由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k维联合概率密度函数可以表示为当k很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),,,(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(16第10章数字信号最佳接收利用上式关系，并注意到式中n0－噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中n=(n1,n2,…,nk)－k维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k维空间中的一个点。Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),,,()(2121kkknfnfnfnnnffn7第10章数字信号最佳接收在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。sTdttn02)(8第10章数字信号最佳接收设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t)=s(t)+n(t)则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为式中r=s+n—k维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；s－k维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r9第10章数字信号最佳接收同理，当发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为顺便指出，若通信系统传输的是M进制码元，即可能发送s1，s2，…，si，…，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是si时，接收电压的k维联合概率密度函数为仍需记住，以上三式中的k维联合概率密度函数不是时间t的函数，并且是一个标量，而r仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(rdttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r10第10章数字信号最佳接收10.2数字信号的最佳接收“最佳”的准则：错误概率最小产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于式中Pe1=P(0/1)－发送“1”时，收到“0”的条件概率；Pe0=P(1/0)－发送“0”时，收到“1”的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。01)0()1(eeePPPPP11第10章数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中（在图中把r当作1维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0，并将判决规则规定为：若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)12第10章数字信号最佳接收显然，区域A0和区域A1是两个互不相容的区域。当这两个区域的边界r0确定后，错误概率也随之确定了。这样，总误码率可以写为式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率P(A1/0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0))0/()0()1/()1(10APPAPPPe0)()1/(10AdfAPrr1)()0/(01AdfAPrr13第10章数字信号最佳接收将上两式代入得到参考上图可知，上式可以写为上式表示Pe是r0的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导并令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件：)0/()0()1/()1(10APPAPPPe10)()0()()1(01AAedfPdfPPrrrr'0'0)()0()()1(01rredfPdfPPrrrrA0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0))()0()()1('00'01'0rrrfPfPPe0)()0()()1(0001rrfPfP14第10章数字信号最佳接收即当先验概率相等时，即P(1)=P(0)时，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量r落在区域A0应判为收到的是“0”的判决准则，这时有：若则判为“0”；反之，若则判为“1”。在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：0)()0()()1(0001rrfPfP)()()0()1(0100rrffPP)()()0()1(10rrffPP)()()0()1(10rrffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)若f0(r)f1(r)，则判为“0”若f0(r)f1(r)，则判为“1”15第10章数字信号最佳接收这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接收电压的k维联合概率密度函数为于是，若则判为si(t)，其中，dttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r),()(rrjiffMjij,,2,116第10章数字信号最佳接收10.3确知数字信号的最佳接收机确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。判决准则当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r17第10章数字信号最佳接收若则判为发送码元是s0(t)；若则判为发送码元是s1(t)。将上两式的两端分别取对数，得到若则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp)1(ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp)1(ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()()1(1lnssTTdttsdtts021020)()(18第10章数字信号最佳接收若式中则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。最佳接收机按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW)1(ln201PnW19第10章数字信号最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比较判决积分器积分器ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(20r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t=Ts第10章数字信号最佳接收若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(21第10章数字信号最佳接收由上述讨论不难推出M进制通信系统的最佳接收机结构上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器22第10章数字信号最佳接收10.4确知数字信号最佳接收的误码率总误码率在最佳接收机中，若则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为s1(t)时，若上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t)=s1(t)+n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元“1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率P(0/1)。此条件概率的计算结果如下ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()()1(1lnaxdxeaPP22221)()1/0(23第10章数字信号最佳接收式中同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率式中axdxeaPP22221)()1/0(sTdttstsPPna02010)]()([21)1()0(ln2sTdttstsnD020102)]()([2)(bxdxebPP22221)()0/1(STdttstsPPnb02100)]()([21)0()1(ln224第10章数字信号最佳接收因此，总误码率为先验概率对误码率的影响当先验概率P(0)=0及P(1)=1时，a=-及b=，因此由上式计算出总误码率Pe=