(0044)《线性代数》复习思考题

（0044）《线性代数》复习思考题一、填空题1．设4阶方阵A=(aij)。(1)a22a14a43a31是否为A中的一个乘积项？如果是，写出该项前面所带的符号。(2)写出A展开式中含有因子a12a21且带有负号的项。2．排列3712456的逆序数为。3．排列n(n-1)...21的逆序数为。4．已知111222333abcabcmabc,111222333abcabcnabc,则111222333333222abcabcaabbcc。5．已知A=(aij)为n阶矩阵，写出A2的第k行第l列的元素。6．已知五阶行列式D中第二列元素依次为-1，-2，1，0，5，它们的余子式依次为5，3，4，2，1，则D=。7．设矩阵A为三阶矩阵，若已知A=m，求−m2A=。8．设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,0,1,13),α2=(0,2,5,1),α3=(4,1,5,1)，则α=。9．设111111111A，150421321B，求3AB-2A及ATB分别为。10．方阵5221的逆阵为。11．设方阵123012001A，*A为A的伴随阵，则*1()A=。12．矩阵2110154214321的秩为。13．若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则(A+I)-1=。14．已知向量α1=(1,2,3),α2=(3,2,1),α3=(-2,0,2),α4=(1,2,4),则3α1+2α2-5α3+4α4=。15．设A为5阶方阵，且A=5，则5A=，A3=。16．教材P2077(1)17．教材P2077(2)18．教材P2072(1)19．教材P2072(2)20．若非齐次线性方程组Ax=b有解x1=(1,2,3)T及x2=(4,5,6)T，则对应齐次线性方程组Ax=0必有一个非零解为。21.方程1101xxxxxx的所有根是。22.若向量组11,0,0，29,2,4，31,3,t线性相关，则t=。二、选择题1．01221kk的充分必要条件是()(A)k≠-1(B)k≠3(C)k≠-1且k≠32．设3214214314324321D，Ai4是ai4(i=1,2,3,4)的代数余子式，则A14+2A24+3A34+4A44=()(A)0(B)D(C)1(D)−13．齐次线性方程组Ax=0是线性方程组Ax=b的导出组，则()(A)Ax=0只有零解时，Ax=b有唯一解(B)Ax=0有非零解时，Ax=b有无穷多个解(C)u是Ax=0的通解，x是Ax=b的特解时，x+u是Ax=b的通解。4．教材P4855．教材P4866．如果122211211aaaa，则下列()是方程组0022221211212111bxaxabxaxa的解。(A)22111122221211,babaxababx(B)22111122221211,babaxababx(C)22111122221211,babaxababx(D)22111122221211,babaxababx7．下述结论错误的是()(A)若向量α与β正交，则对任意实数a,b,aα与bβ也正交(B)若向量β与向量α1，α2都正交，则β与α1，α2的任意线性组合也正交(C)若向量α与β正交，则α与β中至少有一个是零向量(D)若向量α与任意同维向量正交，则α是零向量。8．教材P20939．若A为非奇异上三角矩阵，则()不是上三角矩阵。(A)2A(B)A2(C)A-1(D)AT10．已知矩阵x44174147的特征值为λ1=λ2=3，λ3=12，则x=()(A)4(B)3(C)2(D)111．下列命题正确的是()(A)A2=O,则A=O(B)若A2=A，则A=O或A=E(C)若AX=AY且A≠O，则X=Y(D)如果方阵A的行列式不为零，则A有唯一的逆矩阵。12．向量组α1,α2,...,αs的秩不为零的充分必要条件是()(A)α1,α2,...,αs中有一个线性无关的部分组(B)α1,α2,...,αs全是非零向量(C)α1,α2,...,αs线性无关13．下列命题中，不是n阶矩阵可逆的充分必要条件的是()(A)r(A)=n(B)A的列秩为n(C)A的每个行向量都是非零向量(D)当x≠o,时，Ax≠o,其中x=(x1,x2,..,xn)T。14．教材P11012。15．教材P11115。16．设A为m×n矩阵且r(A)=rmn，则下列命题中错误的是()(A)A中r阶子式不全为0(B)A中每个阶数大于r的子式皆为0(C)A经初等变换可化为OOOIr(D)A有可能是满秩矩阵17．已知132310201A，则下列命题中错误的是()(A)A的秩小于3(B)AT=A(C)AA-1为对称矩阵(D)201310132001010100A18．教材P1722。19．有向量组α1=(1,0,0),α2=(0,0,1),β=()时，β是α1，α2的线性组合。(A)(-3,0,4)(B)(1,1,0)(C)(0,-1,0)(D)(2,1,1)20．如果向量组α1,α2,...,αs线性无关，则下列命题不成立的是()(A)α1,α2,...,αs都不是零向量(B)α1,α2,...,αs中至少有一个向量可以由其余向量线性表示(C)α1,α2,...,αs中任意两个向量都不成比例(D)α1,α2,...,αs中任意部分组线性无关21．设Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次线性方程组，则（）必成立。(A)若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解。(B)若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解。(C)若Ax=b有唯一解，则Ax=0有非零解。(D)若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解。22．设方阵A可逆，并且137212A，则A=（）(A)2713(B)2713(C)271132(D)271132三、计算证明题1．计算行列式abaaaaabaaDaaacaaaaac。2．计算行列式dcbaD100110011001。3．计算行列式xaaaxaaaxDn。4．计算行列式aa11，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0。5．用克莱姆法则解方程组：01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx6．教材P4528(7)。7．教材P4732。8．教材P4733。9．问λ、μ为何值时，齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？10．设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1。11．设列矩阵X=(x1,x2,...,xn)T满足XTX=1，E为n阶单位矩阵，H=E-2XXT，证明H是对称矩阵，且HHT=E。12．教材P10727。13．教材P10729。14．教材P16916（1）。15．教材P16916（2）。16．教材P17019（2）。17．求齐次线性方程组的一个基础解系：02220202432143214321xxxxxxxxxxxx。18．解非齐次方程组：13283542432221321321xxxxxxxxx。19．解非齐次方程组：12222412wzyxwzyxwzyx。20．求矩阵4211的特征值和特征向量。21．已知方阵410010361A有一个特征值为=2，求常数的值并求A的对应与特征值为=2的特征向量。22.设123123123222125422451xxxxxxxxx，问为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。23.计算n阶行列式：122222222232222n。24．设向量组123,,是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。证明112，223，331也是Ax=0的基础解系。25.设n维向量与任何n维向量都正交，证明0。