(20081203)高等数学期末复习指导(文本)

（2008.12.03）高等数学（2）期末复习指导（文本）赵坚：各位老师，各位同学，大家好！现在是高等数学（2）教学活动时间，欢迎大家的参与。今天活动的主题是：课程教学答疑和期末复习指导。考试采取半开卷笔试的形式，考试时间为90分钟。本学期高等数学（2)考试时间为09年1月9日8：30-10：00试题类型及结构：本课程的考试题型分为四种：填空题、单项选择题、计算题和应用题，相应的分数比例大致为15:15:52:18．命题依据：本课程使用的教学大纲是《中央广播电视大学高等专科高等数学课程教学大纲》．使用的教材为分别是《高等数学（下册）——多元函数微积分》和《高等数学（上册）》中第七章无穷级数中7，8，9节（柳重堪教授主编，中央电大出版社出版，2000年1月）．考试说明是考试命题的依据．第7章无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）考核知识点：1．傅里叶级数：傅里叶级数的概念、傅里叶系数公式，周期为函数或定义在上的函数的傅里叶级数，狄利克雷定理．2．正弦级数或余弦级数：定义在上的函数展为正弦级数或余弦级数．考核要求：1．熟练掌握周期为或定义在上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．2．掌握定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．第9章空间解析几何与向量代数考核知识点：1．空间直角坐标：空间直角坐标系概念，两点间距离公式．2．向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的坐标，方向余弦，向量的加减法，数乘向量，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件．3．空间平面：平面的点法式方程，一般方程，点到平面的距离．4．空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程．平面与直线的位置关系的讨论．5．空间曲面与曲线：球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程．考核要求：1．了解空间直角坐标系概念，掌握两点间的距离公式．2．了解向量、向量的模、单位向量、方向余弦等概念，掌握它们的坐标表示．掌握向量的加减法、数乘向量及它们的坐标表示．了解向量的数量积和向量积概念，掌握它们的坐标表示，熟练掌握向量平行和垂直的判别方法．3．熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求点到平面的距离．4．熟练掌握空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．掌握用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）．5．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程．第10章多元函数微分学考核知识点：1．多元函数：多元函数定义，二元函数的几何意义．2．偏导数与全微分：偏导数定义和求法，二阶偏导数，全微分，复合函数的(一阶)偏导数，隐函数的(一阶)偏导数．3．偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线．4．多元函数极值：二元函数极值的概念，极值点存在的必要条件，拉格朗日乘数法．考核要求：1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域．2．了解偏导数的概念，熟练掌握给定的具体函数的一阶、二阶偏导数的计算方法．掌握复合函数（包括含有函数符号的，如）一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数一阶偏导数．掌握全微分的求法．3．会求曲线（参数方程表示）的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线的方程．4．了解二元函数极值的概念，知道极值点存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题．第11章重积分考核知识点：1．重积分概念：二重积分的定义，几何意义、性质．2．二重积分的计算：直角坐标系下二重积分的计算方法、极坐标系下二重积分的计算方法．3．二重积分的应用：求立体的体积．考核要求：1．知道二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和性质．2．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法．会在直角坐标系下交换积分次序．掌握在极坐标系下二重积分的计算方法．3．掌握曲顶柱体的体积的求法，会求由简单曲面围成的空间立体的体积．第12章第二类曲线积分考核知识点：1．曲线积分概念：第二类曲线积分的概念、性质．2．曲线积分计算方法：把曲线积分化为定积分再计算．3．格林公式：用格林公式将曲线积分化为二重积分计算．4．曲线积分与路径无关的条件．考核要求：1．了解第二类曲线积分的概念和性质（线性性质、对积分路径的可加性）．2．掌握把曲线积分化为定积分的计算方法；掌握用格林公式将曲线积分化为二重积分的方法；3．了解曲线积分与路径无关的条件．高数（2）（08）秋期末综合练习一、填空题1．两向量ba,满足ba//的充分必要条件是．2．球心在点)0,1,1(，半径为2的球面方程为．3．设函数2exyz，则yz．4．设函数yxz22，则zd．5．若改变累次积分的次序，则xxyyxfx2d),(d10．6．设l是圆周422yx的正向，则lyxxydd21．7．设D是由封闭曲线l围成的区域，若在D内恒有等式，则有0d),(d),(lyyxQxyxP．二、单项选择题1．平面053zyx的位置关系是（）．A．与OXY面平行B．与OXZ面平行C．经过坐标原点D．与X轴垂直2．下列方程中表示锥面的方程是（）．A．22yxzB．222yxzC．1222zyxD．22yz3．函数yxzarcsin的定义域为（）．A．11yxB．11yxC．yx1D．1yx4.若函数yxz2，则xyz2（）．A．yx2B．2xC．x2D．22yx5.Dyxdd（），其中D是由x轴、y轴及直线xy1围成的区域．A．1B．21C．31D．416．若)(xf是以π2为周期的奇函数，则)(xf的傅氏系数的计算公式是（）．A．),2,1(dsin)(π1,),2,1,0(0π0nxnxxfbnannB．),2,1(0,),2,1,0(dcos)(π1π0nbnxnxxfannC．),2,1(dsin)(π2,),2,1,0(0π0nxnxxfbnannD．),2,1(0,),2,1,0(dcos)(π2π0nbnxnxxfann三、计算题1．求过点)0,1,1(且平行于直线2312zyyx的直线方程．2．求过点)1,0,2(且平行于平面52yx的平面方程．3．设),(22yxyxfz，求yz．4．设)cos,e(2yxxfzy，求yz．5．设zyxze，求zd．6．设yzzxesin，求zd．7．计算Dyxyxdd22，其中D是区域：由0,422xyx．8．计算Dyxydd，其中D是由xyxy,2围成的区域．9．将函数0π,0π0,)(xxxxf展成周期为π2的傅里叶级数．10．将函数0π,10,0π0,1)(xxxxf展成周期为π2的傅里叶级数．四、应用题1．在直线1xy上找一点，使它与点)0,1(A的距离最短．2．在一个半径为R的半圆内内接一个矩形，矩形的边长取何值时其面积最大？高数（2）（08）秋期末综合练习参考答案一、填空题1.0ba2.4)1()1(222zyx3.2e2xyxy4.yxxxyd2d425．yyxyxfyd),(d106．π47．yPxQ二、单项选择题1．C2．B3.A4.D5.B6．C三、计算题1．解：因为所求直线的方向向量为：)6,2,1()1,3,0()0,1,2(n所以直线方程为：62111zyx2．解：因为所求平面的法向量为：)0,2,1(n所以平面方程为：022yx3．解：设),(vufz，其中yxvyxu22,，得vzxuzyyvvzyuuzyz224．解：设),(vufz，其中yxvxuycos,e2，因为vzyxuzxyvvzyuuzyzysine25．解左)dd(21)(d21)(dzxxzxzxzxzxz右yzyyyyzzzzzdedede)e(d)e(d由此得yxzyxxzxxzyxzzzzzde2e2de2d6．解：等式两端求微分得左zzxxzzxdcosdsin)sin(d右yzzzyyyded)e(dd)e(d由此得yzxxzxzzyd1cosed1cossind7．解：利用极坐标计算π38dddd2022π2π22rryxyxD8．解：将二重积分化为累次积分得xxDyyxyxy2dddd10203)d(21d)2(1041022xxxxyxx9．解：)(xf的傅氏系数为2πdπ1d)(π1π0π00xxxxfaπ0π0π0dsinπ1sinπ1dcosπ1xnxnnxxnxnxxan]1)1[(π1cosπ12π02nnnxnπ0π0π0dcosπ1cosπ1dsinπ1xnxnnxxnxnxxbn1)1(1nn故)ππ(]sin)1()12cos()12(2[4π)(112xnxnxnnxfnn10．解：因为)(xf为奇函数，故0na，,2,1,0n00dsinπ2dsin)(π2xnxxnxxfbn])1(1[π2cosπ20nnnxn故)ππ()12sin(π)12(4)(1xxnnxfn．四、应用题1．解：直线1xy上找一点距点)0,1(A的距离平方为22)1(),(yxyxf条件函数为1xy作辅助函数)1()1(),,(22yxyxyxF由0102022yxFyyFxxF解得1,0yx，可以断定，直线1xy上点)1,0(M与点)0,1(A的距离最短．2．解：设矩形的长、宽分别为yx,2，则矩形的面积为),(yxf=xy2条件函数为222Ryx作辅助函数)(2),,(222RyxxyyxF由0022022222RyxFyxyFxyxF解得Ryx22，当矩形的长、宽分别为R2与R22时面积最大．马少帅：赵老师好！有什么新指示？赵坚：马老师好，欢迎参加教学活动。赵坚：活动就要结束了，祝各位老师工作顺利，身体健康！祝各位同学考试取得好成绩！