(2013春季发行)高三数学第一轮总复习11-4数学归纳法理新人教A版

111-4数学归纳法(理)基础巩固强化1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于()A．1B．3C．5D．7[答案]C[解析]n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4时恒有2nn2.2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3.3．若f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋16n－1(n∈N＋)，则f(1)为()A．1B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案[答案]C[解析]注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，故f(1)＝1＋12＋13＋14＋15.4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－2B．an＝n2C．an＝3n－1D．an＝4n－3[答案]B[解析]a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.5．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()2A．f(n)中共有n项B．f(n)中共有n＋1项C．f(n)中共有n2－n项D．f(n)中共有n2－n＋1项[答案]D[解析]f(n)的分母从n开始取自然数到n2止，共有n2－(n－1)＝n2－n＋1项．6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.17(8n－1)个D.17(8n＋1)个[答案]C[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝8n－17个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]2k＋18．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．3[答案]n(n＋1)[解析]当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个．9．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析](1)当n≥3时，xn＝xn－1＋xn－22.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝x2＋x12－x2＝－12(x2－x1)＝－12a，a3＝x4－x3＝x3＋x22－x3＝－12(x3－x2)＝14a，由此推测an＝(－12)n－1a(n∈N*)．证法1：因为a1＝a0，且an＝xn＋1－xn＝xn＋xn－12－xn＝xn－1－xn2＝－12(xn－xn－1)＝－12an－1(n≥2)，所以an＝(－12)n－1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－12)0a，公式成立．4(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－12)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝xk＋1＋xk2－xk＋1＝－12(xk＋1－xk)＝－12ak＝－12(－12)k－1a＝(－12)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－12)n－1a成立．10．已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由．[解析]∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，及a2≥(a1＋1)2－1得，a2≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－123－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n.∴11＋an≤12n.∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－(12)n1.能力拓展提升11.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[答案]C[解析]左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n＝1时，应为1＋a＋a2.12．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.[答案]π[解析]将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak连接，则原k＋1边形分为k边形A1A2…Ak5与三角形A1AkAk＋1，显见有f(k＋1)＝f(k)＋π.13．已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝a22n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝nn＋n－3.[解析](1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝C2n·2n－2，bn＝a22n－3＝2C2n＝n(n－1)(n≥2)．①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＋－3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝kk＋k－3成立那么，当n＝k＋1时，左边＝Tk＋bk＋1＝kk＋k－3＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝kk＋k－3＋k(k＋1)＝k(k＋1)k－13＋1＝kk＋k＋3＝k＋k＋＋k＋－1]3＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝nn＋n－3.14．已知f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn(n为正偶数)且{an}为等差数列，f(1)＝n2，f(－1)＝n，试比较f12与3的大小，并证明你的结论．[解析]由f(1)＝n2，f(－1)＝n得，a1＝1，d＝2.∴f12＝12＋3122＋5123＋…＋(2n－1)·12n，6两边同乘以12得，12f12＝122＋3123＋…＋(2n－3)12n＋(2n－1)12n＋1，两式相减得，12f12＝12＋2122＋2123＋…＋212n－(2n－1)12n＋1＝12＋121－12n－11－12－(2n－1)12n＋1.∴f12＝3－2n＋32n3.15．证明：当n∈N*时，1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)．[证明](1)当n＝1时，由于ln2lne＝1，故不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立．则1＋12＋13＋…＋1kln(1＋k)．则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋11k＋1＋ln(k＋1)．要证不等式成立，只需证明ln(k＋2)1k＋1＋ln(k＋1)成立．要证明此不等式成立只需证明1k＋1ln(k＋2k＋1)＝ln(1＋1k＋1)．下面构造函数f(x)＝ln(1＋x)－x(x0)．∵f′(x)＝11＋x－1＝－x1＋x0，∴f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)f(0)，即ln(1＋x)x.令x＝1k＋1得ln(1＋1k＋1)11＋k.即不等式ln(k＋2)1k＋1＋ln(1＋k)成立，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1ln(k＋2)成立．由(1)、(2)可知对n∈N*，不等式1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)成立．[点评]利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由n＝k证明7n＝k＋1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(6)＝()A．53B．73C．91D．97[答案]C[解析]f(1)＝1×6－6＋1；f(2)＝2×6－6＋f(1)；f(3)＝3×6－6＋f(2)；f(4)＝4×6－6＋f(3)；…f(n)＝n×6－6＋f(n－1)．以上各式相加得f(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)×6－6n＋1＝3n2－3n＋1，∴f(6)＝3×62－3×6＋1＝91.2．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10[答案]B[解析]等式左端＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－12＝2－12n－1，将选项中的值代入验证可知n的最小值为8.3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()8A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案]D[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.4．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝bn1－4a2n(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．[解析](1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝b11－4a21＝13，a2＝a1·b2＝13.∴点P2的坐标为(13，13)．∴直线l的方程为2x＋y＝1.(2)证