(2013春季发行)高三数学第一轮总复习12-2坐标系与参数方程新人教A版

112-2坐标系与参数方程基础巩固强化1.(文)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋t.(t为参数)所表示的图形分别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线[答案]D[解析]由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程x＝－1－t，y＝2＋t.中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．(理)(2011·皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t，y＝t＋1.(t∈R)，圆的参数方程为x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离为()A．0B．2C.2D.22[答案]C[解析]化直线l的参数方程x＝ty＝t＋1(t∈R)为普通方程为x－y＋1＝0，化圆的参数方程x＝cosθ＋1，y＝sinθ.(θ∈[0,2π))为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1,0)到直线l的距离为|1－0＋1|12＋－2＝2.2．若直线的参数方程为x＝1＋3t，y＝2＋3t.(t为参数)，则直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]A[解析]由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝3t3t＝33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为30°.3．(文)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直2线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1[答案]C[解析]过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.(理)在极坐标系中，过点(2，π3)且与极轴平行的直线的方程是()A．ρcosθ＝3B．ρsinθ＝3C．ρ＝3cosθD．ρ＝3sinθ[答案]B[解析]设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sinπ3，∴ρsinθ＝3，故选B.4．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x2＋y2＝16变换为椭圆方程x′2＋y′216＝1，此伸缩变换公式是()A.x＝14x′y＝y′B.x＝4x′y＝y′C.x＝2x′y＝y′D.x＝4x′y＝8y′[答案]B[解析]设此伸缩变换为x′＝λxλ，y′＝μyμ，代入x′2＋y′216＝1，得(λx)2＋μy216＝1，即16λ2x2＋μ2y2＝16，3与x2＋y2＝16比较得16λ2＝λ，μ2＝μ，故λ＝14，μ＝1，故所求变换为x′＝14x，y′＝y.故选B.5．设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为()A.125B.1255C.955D.9510[答案]B[解析]圆的直角坐标方程为x2＋y2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝35.所以弦长为232－d2＝1255.6．抛物线x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线[答案]B[解析]原方程变形为：y＝12(x－3sinθ)2＋4cosθ.设抛物线的顶点为(x，y)，则x＝3sinθy＝4cosθ，消去参数θ得轨迹方程为x29＋y216＝1.它是椭圆．7．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．[答案]1[解析]ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，4易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.(理)(2011·安徽“江南十校”联考)在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．[答案]相离[解析]直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C(1,0)，半径r＝1.因为圆心到直线的距离d＝22＝21，故直线与圆相离．8．(文)已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0,0≤θπ2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．[答案]23，π6[解析]化为直角坐标方程为x＝3和x2＋y2＝4x(y≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为23，π6.[点评]可直接解ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，得ρ＝23，θ＝π6.(理)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为__________．[答案](1，π2)[解析]曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组x＋y＝1y－x＝1，得x＝0y＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为(1，π2)．[点评]可直接由两方程联立解出交点坐标，∵ρcosθ＋ρsinθ＝1，ρsinθ－ρcosθ＝1，∴ρcosθ＝0，ρsinθ＝1.∵ρ≠0，∴cosθ＝0，∴θ＝π2＋kπ(k∈Z)，∴sinθ＝±1，∵ρ0，∴sinθ＝1，∴θ＝π2＋2nπ(n∈Z)，ρ＝1，5令n＝0得，交点的一个极坐标为(1，π2)．9．(文)直线x＝1＋4t，y＝－1－3t.(t为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．[答案]75[解析]由x＝1＋4t，y＝－1－3t.得直线方程为3x＋4y＋1＝0，∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cosθ－sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，即(x－12)2＋(y＋12)2＝12.圆心到直线的距离d＝110，∴弦长＝2×12－1100＝75.(理)已知直线l的参数方程是x＝－1＋12t，y＝32t，(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝23－cos2θ，则直线l被曲线C截得的弦长等于________．[答案]827[解析]由ρ＝23－cos2θ得，ρ＝22＋2sin2θ，∴ρ2(1＋sin2θ)＝2，∴x2＋2y2＝2，将x＝－1＋12t，y＝32t，代入并化简得，7t2－4t－4＝0，∴t1＋t2＝47，t1t2＝－47，∴|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝472＋167＝827.10．(文)(2012·山西高考联合模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为6x＝3＋3cosθ，y＝1＋3sinθ.(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋π6)＝0.(1)写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；(2)求圆C截直线l所得的弦长．解析：(1)消去参数得圆C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9，由ρcos(θ＋π6)＝0得32ρcosθ－12ρsinθ＝0，直线l的直角坐标方程3x－y＝0.(2)圆心(3，1)到l的距离d＝|3×3－1|32＋－2＝1.设圆心截直线l所得弦长为m，则m2＝r2－d2＝22，∴m＝42.(理)(2012·银川一中二模)平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x＝t，y＝3t.(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|.[解析](1)消去参数得直线l的直角坐标方程：y＝3x将x＝ρcosθy＝ρsinθ代入得ρsinθ＝3ρcosθ⇒θ＝π3或θ＝4π3(ρ≥0)．(也可以是：θ＝π3(ρ∈R))(2)由ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0θ＝π3得，ρ2－3ρ－3＝0设A(ρ1，π3)，B(ρ2，π3)，则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝15.[点评]也可化为直角坐标方程求解.能力拓展提升711.(2011·西安检测)已知直线l：x＝1－22t，y＝1＋22t.(t为参数)与圆C：x＝1＋2cosθ，y＝1＋2sinθ.(θ为参数)，它们的公共点个数为________个．[答案]2[解析]直线l的普通方程为x＋y－2＝0，⊙C的圆心(1,1)，半径r＝2，圆心C在直线l上，∴l与⊙C相交．12．(文)(2011·咸阳模拟)若直线3x＋4y＋m＝0与圆x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ.(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是____．[答案](－∞，0)∪(10，＋∞)[解析]由条件知，圆心C(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径1，∴|3－8＋m|51，∴m0或m10.(理)已知直线l的参数方程：x＝2t，y＝1＋4t.(t为参数)，曲线C的极坐标方程：ρ＝22sinθ＋π4，求直线l被曲线C截得的弦长为_______．[答案]2305[分析]可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解；也可将曲线C的方程化为直角坐标方程后，将l方程代入利用t的几何意义求解．[解析]将直线l的参数方程化为普通方程为y＝2x＋1，将圆C的极坐标方程化为普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，从圆方程中可知：圆心C(1,1)，半径r＝2，所以圆心C到直线l的距离d＝|2×1－1＋1|22＋－2＝252＝r.所以直线l与圆C相交．所以直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝22－45＝2305.13．(2011·天津理，11)已知抛物线C的参数方程为x＝8t2，y＝8t，(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝________.8[答案]2[解析]根据抛物线C的参数方程x＝8t2y＝8t，得出y2＝8x，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y＝x－2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r＝22＝2.14．(文)(2012·江西理，15)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[答案]ρ＝2cosθ[解析]将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入x2＋y2－2x＝0中得，ρ2－2ρcosθ＝0，∵ρ≠0，∴ρ＝2cosθ.(理)(2012·湖北理，16)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线x＝t＋1，y＝t－2.(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．[答案](52，52)[解析]由x＝t＋1，y＝t－2，化为普通方程y＝(x－2)2①由θ＝π4化为直角坐标方程y＝x(x≥0)②联立①②，∴(x－2)2＝x，即x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴中点坐标为(52，52)．15．(2011·课标全国文，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.[解析](1)设P(x，y)，则由条件知M(x2，y2)．由于M点在C1上，所以9x2＝2cos