(2013春季发行)高三数学第一轮总复习2-2函数的单调性与最值新人教A版

12-2函数的单调性与最值基础巩固强化1.(文)(2012·陕西文)集合M＝{x|lgx0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2][答案]C[解析]本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M＝{x|x1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1x≤2}＝(1,2]．[点评]对于对数方程或对数不等式的求解一定不要忽略要使函数有意义．应有真数0.(理)(2011·湖北理，2)已知U＝{y|y＝log2x，x1}，P＝{y|y＝1x，x2}，则∁UP＝()A．[12，＋∞)B．(0，12)C．(0，＋∞)D．(－∞，0]∪[12，＋∞)[答案]A[解析]∵U＝{y|y＝log2x，x1}＝(0，＋∞)，P＝{y|y＝1x，x2}＝(0，12)，∴∁UP＝[12，＋∞)．2．(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是()A．y＝log0.5(1－x)B．y＝x0.5C．y＝0.51－xD．y＝12(1－x2)[答案]D[解析]∵u＝1－x在(0,1)上为减函数，且u0，∴y＝log0.5(1－x)为增函数，y＝0.51－x为增函数；又0.50，∴幂函数y＝x0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y＝12(1－x2)开口向下，对称轴x＝0，故在(0,1)上为减函数．(理)(2011·广州模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的函数是()A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝x2－1C．f(x)＝2xD．f(x)＝ln(－x)2[答案]C[解析]f(x)＝－x＋1为减函数，f(x)＝x2－1在(－∞，1)上为减函数；f(x)＝2x为增函数，f(x)＝ln(－x)为减函数，由条件知f(x)在(－∞，0)上为增函数，故排除A、B、D选C.3．(2011·上海文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13[答案]A[解析]y＝x－1是奇函数，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，y＝x13是奇函数．4．(文)(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a＝log132，b＝log1213，c＝120.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c[答案]B[解析]∵log132log131＝0，∴a0；∵log1213log1212＝1，∴b1；∵120.31，∴0c1，故选B.(理)(2011·天津理)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(15)log20.3，则()A．abcB．bacC．acbD．cab[答案]C[解析]a＝5log23.4，b＝5log43.6＝5log23.6，c＝(15)log20.3＝5log2103，由对数函数的单调性有log23.4log2103log23.6，由指数函数单调性，有acb，故选C.35．(2011·北京模拟)设函数f(x)＝23x－1x≥0，1xx0.若f(a)a，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(0,1)[答案]B[解析]f(a)a化为a≥0，23a－1a，或a0，1aa.∴a－1.6．(文)(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.12B.14C．2D．4[答案]C[解析]f(x)在[1,2]上是单调函数，由题意知，a＋a2＋loga2＝loga2＋6，∴a2＋a－6＝0，∵a0，∴a＝2.(理)(2012·新课标全国文)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A．(0，22)B．(22，1)C．(1，2)D．(2，2)[答案]B[解析]∵0x≤12时，logax4x0，∴0a1，排除C、D；当x＝12时，loga12412＝2＝logaa2，∴a1，a212，或0a1，a212，∴a22，排除A，选B.7．(文)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[答案][－14，0][解析](1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调4递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－1a≥4，解得－14≤a0.综上所述－14≤a≤0.(理)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．[答案](0,1][解析]由f(x)＝－x2＋2ax得函数对称轴为x＝a，又在区间[1,2]上是减函数，所以a≤1，又g(x)＝ax＋1在[1,2]上减函数，所以a0，综上a的取值范围为(0,1]．8．f(x)＝xlnx的单调递减区间是________．[答案]0，1e[解析]f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)0得x1e，∴0x1e，∴f(x)在0，1e上单调递减．9．(文)函数f(x)＝log5(2x－1)的单调增区间是________．[答案](12，＋∞)[解析]∵2x－10，∴x12.所求单调增区间为(12，＋∞)．(理)(2011·德州月考)已知函数f(x)＝12xx≤0，log2x＋x＞0.若f(x0)≥2，则x0的取值范围是____________．[答案](－∞，－1]∪[2，＋∞)．[解析]当x0≤0时，f(x0)≥2化为(12)x0≥2，即：(12)x0≥(12)－1，∴x0≤－1，5当x0＞0时，f(x0)≥2化为log2(x0＋2)≥2，即log2(x0＋2)≥log24，∴x0＋2≥4，∴x0≥2，∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．10．(文)已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．[解析](1)证明：设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝x1－x2x1＋x2＋.∵(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解：设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.∵a0，x2－x10，∴要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，∴a≤1.综上所述知0a≤1.[点评]第(2)问中，由f(x)单调递减知x1x2时，f(x1)－f(x2)0恒成立，从而(x1－a)(x2－a)0恒成立，由于a0，x11，x21，故只有当0a≤1时才满足．(理)(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间并比较f(x)与f(1)的大小关系；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2[f′(x)＋m2]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×lnnn1n(n≥2，n∈N*)．[解析](1)当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋x－3，f′(x)＝x－1x(x0)，由f′(x)0得x1；由f′(x)0得0x1，所以，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]，可知f(x)min＝f(1)，所以f(x)≥f(1)．(2)∵f′(x)＝a－xx(x0)，tan45°＝1，∴f′(2)＝－a2＝1，得a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3，6∴g(x)＝x3＋(m2＋2)x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴gt，g由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)0恒成立，所以，g，g，g∴－373m－9.(3)证明如下：由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时f(x)f(1)，即－lnx＋x－10，∴0lnxx－1对一切x∈(1，＋∞)成立．∵n≥2，n∈N*，则有0lnnn－1，∴0lnnnn－1n，∴ln22·ln33·ln44·…·lnnn12·23·34·…·n－1n＝1n(n≥2，n∈N*).能力拓展提升11.(2011·山东聊城一中期末)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有()A．f13f32f23B．f23f32f13C．f23f13f32D．f32f23f13[答案]B[解析]∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，故当x1时，f(x)为减函数，且f32＝f1＋12＝f1－12＝f12，∵131223，∴f13f12f23，即f23f32f13，故选B.12．(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)7＝cx，xA，cA，x≥A.(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16[答案]D[解析]当A4时，f＝c2＝30，fA＝cA＝15，解得c＝60，A＝16；当A≤4时，f＝cA＝30，fA＝cA＝15，无解．13．(文)(2011·抚顺模拟)已知f(x)＝axx，－a2x＋x，是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)[答案]B[解析]由y＝ax(x1)单调增知a1；由y＝(4－a2)x＋2(x≤1)单调增知，4－a20，∴a8；又f(x)在R上单调增，∴a≥(4－a2)＋2，∴a≥4，综上知，4≤a8.[点评]可用筛选法求解，a＝2时，有f(1)＝54＝f(2)，排除A、D.a＝4时，f(x)＝4xx，2x＋2x，在R上单调递增，排除C，故选B.(理)(2011·北京学普教育中心)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是．．单调函数，则实数k的取值范围是()8A．[1，＋∞)B．[1，32)C．[1,2)D．[32，2)[答案]B[解析]因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，由f′(x)＝0，得x＝12.据题意，k－112k＋1，k－1≥0，解得1≤k32，选B.14．(2011·天津四校联考)已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a的值为________．[答案]－2[解析]当－a2≤0，即a≥0时，函数f(x)在[0,3]上为增函数，此时，f(x)min＝f(0)＝－1，不符合题意，舍去；当－a2≥3，即a≤－6时，函数f(x)在[0,3]上为减函数，此时，f(x)min＝f(3)＝－2，可得a＝－103，