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12-4指数与指数函数基础巩固强化1.函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是()A．|a|1B．|a|2C．|a|2D．1|a|2[答案]D[解析]由题意知，0a2－11，∴1a22，∴1|a|2.2．(文)若指数函数y＝ax的反函数的图象经过点(2，－1)，则a等于()A.12B．2C．3D．10[答案]A[解析]运用原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则函数y＝ax过点(－1,2)，故选A.(理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为()A．0B.33C．1D.3[答案]D[解析]由点(a,9)在函数y＝3x图象上知3a＝9，即a＝2，所以tanaπ6＝tanπ3＝3.3．(2012·北京文，5)函数f(x)＝x12－(12)x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]函数f(x)＝x12－(12)x的零点个数即为方程x12＝(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y＝x12和y＝(12)x的图象，易得交点个数为1个．2[点评]本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于()A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y＝x对称[答案]C[解析]y＝2x＋1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y＝21－x，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是()A．m≤－1B．－1≤m0C．m≥1D．0m≤1[答案]A[解析]∵|1－x|∈[0，＋∞)，∴2|1－x|∈[1，＋∞)，欲使函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，应有m≤－1.5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f(x)＝2x，x1，x－1，x≥1，且f(a)1，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B．(2，＋∞)C．(0,1)∪(2，＋∞)D．(1，＋∞)[答案]C[解析]由a1，2a1，得0a1，由a≥1，a－11，得a2，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1,1)D．(0,2)3[答案]C[解析]由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－10k＋1，解得－1k1.6．f(x)＝12xx≥4，fx＋x4.则f(2＋log23)的值为()A.13B.16C.112D.124[答案]D[解析]∵1log232，∴32＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a*b＝aab，ba≥b，则函数f(x)＝3x*3－x的值域是________．[答案](0,1][解析]由a*b的定义知，f(x)取y＝3x与y＝3－x的值中的较小的，∴0f(x)≤1.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x2，则h(3)的值等于________．4[答案]9[解析]由程序框图可知，h(x)的值取f(x)与g(x)的值中较大的，∵f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9,98，∴h(3)＝9.8．若函数f(x)＝1x，x0，13x，x≥0.则不等式|f(x)|≥13的解集为________．[答案][－3,1][解析]f(x)的图象如图．|f(x)|≥13⇒f(x)≥135或f(x)≤－13.∴13x≥13或1x≤－13∴0≤x≤1或－3≤x0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．9．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案]42[解析]由3|x|＝1得x＝0，由3|x|＝9得x＝±2，故f(x)＝3|x|的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m]，0≤m≤2或[n,2]，－2≤n≤0都可以，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．[解析](1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，∴f(－x)＝2－x4－x＋1＝2x1＋4x，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x1＋4x，∴f(x)在(－1,1)上的解析式为f(x)＝2x4x＋1x∈，，－2x4x＋1x∈－1，，0x＝0.(2)当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.设0x1x21，则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x24x2＋1＝x2－2x1x1＋x2－x1＋x2＋，∵0x1x21，∴2x2－2x10,2x1＋x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,1)上是减函数．6(理)已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[分析](1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min.[解析](1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0a1时，a2－10，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1].能力拓展提升11.(文)(2012·四川文)函数y＝ax－a(a0，且a≠1)的图象可能是()7[答案]C[解析]根据函数y＝ax－a过定点(1,0)，排除A、B、D选项，得C项正确．(理)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系内的图象大致是()[分析]函数f(x)＝1＋log2x的图象可由函数y＝log2x的图象变换得到；函数y＝2－x＋1可由函数y＝(12)x的图象变换得到．[答案]C[解析]f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的；g(x)＝2－x＋1＝(12)x－1的图象可由y＝(12)x的图象向右平移一个单位长度得到．8[点评]幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上()A．有极大值B．有极小值C．是增函数D．是减函数[答案]C[解析]设0x1x2，则f(x2)－f(x1)＝ex2＋1ex2－ex1－1ex1＝(ex2－ex1)－ex2－ex1ex2ex1＝(ex2－ex1)(1－1ex2ex1)0，所以函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f(x)＝－ax－3，x≤7，ax－6，x7.若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．[94，3)B．(94，3)C．(2,3)D．(1,3)[答案]C[解析]∵{an}是递增数列，∴f(n)为单调增函数，∴a1，3－a0，a8－6－a－3，∴2a3.13．(2011·陕西师大附中一模)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.[答案]10[解析]∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝10.914．(文)(2011·南通六校联考)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为________．[答案]mn[解析]∵a＝5－12∈(0,1)，∴y＝ax是减函数，故aman⇒mn.(理)已知2x－229的展开式的第7项为214，则x的值为________．[答案]－13[解析]T7＝C69(2x)3·－226＝212×8x＝214，∴3x＝－1，∴x＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1是奇函数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．[解析](1)∵f(x)的定义域为R，且为奇函数．∴f(0)＝0，解得a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，∴f(x)为增函数．证明：任取x1，x2∈R，且x1x2.f(x1)－f(x2)＝1－22x1＋1－1＋22x2＋1＝x1－2x2x1＋x2＋，∵x1x2，∴2x1－2x20，且2x1＋10,2x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)为R上增函数．(3)令y＝2x－12x＋1，则2x＝－1－yy－1，∵2x0，∴－1－yy－10，∴－1y1.∴函数f(x)的值域为(－1,1)．10(理)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·12x＋14x.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，f(x)＝1＋12x＋14x.因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M0，使|f(x)|≤M成立．所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．∴－3≤f(x)≤3，即－4－14x≤a·12x≤2－14x，∴－4·2x－12x≤a≤2·2x－12x在[0，＋∞)上恒成立，设2x＝t，h(t)＝－4t－1t，p(t)＝2t－1t，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1t2，h(t1)－h(t2)＝t2－t1t1t2－t1t20p(t1)－p(t2)＝t1－t2t1t2＋t1t20所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1