(2013春季发行)高三数学第一轮总复习3-2利用导数研究函数的性质新人教A版

13-2利用导数研究函数的性质基础巩固强化1.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数，以下四个函数在(0，π2)上是凹函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x＋1D．f(x)＝－xe－x[答案]D[解析](1)若f(x)＝sinx＋cosx，则f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∴f″(x)0在(0，π2)上不成立；(2)若f(x)＝lnx－2x，则f′(x)＝1x－2，f″(x)＝－1x2，f″(x)0在(0，π2)上不成立；(3)若f(x)＝－x3＋2x＋1，则f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，f″(x)0在(0，π2)上不成立；(4)若f(x)＝－xe－x，则f′(x)＝(x－1)e－x，f″(x)＝(2－x)e－x，当x∈(0，π2)时，f″(x)0恒成立，故选D.2．(2013·济南外国语学校第一学期质检)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为()A．2B．3C．6D．9[答案]D[解析]函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有极值，则有f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2ab，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.3．(文)(2011·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)1，则f(x)x的解集是()A．(0,1)B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－10，所以F(x)是增函数，∵f(x)x，∴F(x)0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)F(1)，∵F(x)是增函数，∴x1，即f(x)x的解2集是(1，＋∞)．(理)(2011·辽宁文)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)[答案]B[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－20.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x－1时，φ(x)φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－40，∴f(x)2x＋4.故选B.4．(文)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为()A．a＝－12，b＝0，c＝－32B．a＝12，b＝0，c＝－32C．a＝－12，b＝0，c＝32D．a＝12，b＝0，c＝32[答案]C[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得f＝0，f－＝0，f－＝－1，即3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0，－a＋b－c＝－1，解得a＝－12，b＝0，c＝32.(理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝3|b|，若函数f(x)＝13x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是()A．[0，π6]B．(0，π3]C．(π6，π2]D．(π6，π]3[答案]D[解析]据题意知，f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，若函数存在极值，必有(2|a|)2－4×2a·b0，整理可得|a|22a·b，故cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b||a|22|a|·|a|3＝32，解得π6〈a，b〉≤π.5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.6．(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20102011B.10052011C.40204021D.20104021[答案]D[解析]∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，4∴1fn＝14n2－1＝12n－1·12n＋1＝1212n－1－12n＋1∴数列1fn的前n项和Sn＝1f＋1f＋…＋1fn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴S2010＝20104021.7．(2011·惠州三模)已知函数f(x)＝1－xax＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．[答案][1，＋∞)[解析]∵f(x)＝1－xax＋lnx，∴f′(x)＝ax－1ax2(a0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝ax－1ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥1x对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.8．(文)函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)在(a，b)上的图象如图，则y＝f(x)在区间(a，b)上极大值的个数为________．5[答案]2[解析]由f′(x)在(a，b)上的图象可知f′(x)的值在(a，b)上，依次为＋－＋－＋，∴f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个．[点评]应注意题设中给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，在f′(x)的图象上，位于x轴上方部分使f′(x)0，f(x)单调增，位于x轴下方部分，使f′(x)0，f(x)单调减，f(x)的极值点是f′(x)的图象与x轴的交点，千万要注意，不要把f′(x)的单调性误以为是f(x)的单调性．请再练习下题：(2011·绵阳模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．[答案]②③[解析]由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．(理)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．[答案]1[解析]∵f′(x)＝11＋x－a，∴f′(1)＝12－a.6由题知12－a＝－12，解得a＝1.[点评]函数f(x)在点(x0，y0)处切线l的斜率为f′(x0)，若l与l1平行(或垂直)，则f′(x0)＝kl1(或f′(x0)·kl1＝－1)．请再练习下题：已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．[答案]0或－23[解析]由条件知，2x0＝－3x20，∴x0＝0或－23.9．(2012·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)0，则实数x的取值范围为________．[答案](1，2)[解析]∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)f(x2－1)，∴－11－xx2－11，解得1x2，∴实数x的取值范围是(1，2)．[点评]本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和应用．10．(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′(23)．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)(理)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．[解析](1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c得，f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′(23)＝3×(23)2＋2a×(23)－1＝43a＋13，解之得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋13)(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)7f′(x)＋0－0＋f(x)↗有极大值↘有极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－13，1)．(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞).能力拓展提升11.若a2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点[答案]B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝10，f(2)＝113－4a0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．12．(2011·南开区质检)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2[答案]A[解析]∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，∴b＝1，c＝2，或b＝－1，c＝－2，∴ad＝2.13．(文)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数，则函数F(x)＝f(x)·f′(x)＋f2(x)的最大值是()A．1＋2B．1－2C.2D．－28[答案]A[解析]依题意，得f′(x)＝cosx－sinx，所以F(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＋(sinx＋cosx)2＝2sin(2x＋π4)＋1，所以F(x)的最大值是1＋2.(理)(2013·陕西西工大附中第三次适应性训练)已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)f(x)，则当a0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为()A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．f(a)≤eaf(0)[答案]B[解析]令F(x)＝fxex，则F′(x)＝fx－fxex0，∴F(x)为增函数，∵a0，∴F(a)F(0)，即faeaf(0)，∴f(a)eaf(0)，故选B.14．(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.[答案]4[解析]由题可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数即c为整数，∴f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9