16-2等差数列基础巩固强化1.(文)(2012·辽宁文,4)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24[答案]B[解析]本题考查等差数列的性质.由等差数列的性质得,a2+a10=a4+a8=16,B正确.[点评]解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质.(理)(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,则Sn+64an的最小值为()A.7B.8C.152D.172[答案]D[解析]由题意知a1+d=4,10a1+45d=110.∴a1=2,d=2.∴Sn=n2+n,an=2n.∴Sn+64an=n2+n+642n=n2+12+32n≥12+2n2·32n=172.等号成立时,n2=32n,∴n=8,故选D.2.(文)(2011·福州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a6+a7=18,则S9的值是()A.64B.72C.54D.以上都不对[答案]C[解析]由a2+a6+a7=3a1+12d=3a5=18,得a5=6.所以S9=a1+a92=9a5=54.(理)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为()A.12B.8C.6D.4[答案]B2[解析]由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.∴m=8.故选B.3.(2011·西安五校一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于()A.8B.7C.6D.9[答案]C[解析]设等差数列{an}的公差为d,依题意得a3+a7=2a5=-6,∴a5=-3,∴d=a5-a15-1=2,∴an=-11+(n-1)×2=2n-13.令an0得n6.5,即在数列{an}中,前6项均为负数,自第7项起以后各项均为正数,因此当n=6时,Sn取最小值,选C.4.已知不等式x2-2x-30的整数解构成等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项为()A.3B.-1C.2D.3或-1[答案]D[解析]由x2-2x-30及x∈Z得x=0,1,2.∴a4=3或-1.故选D.5.(2012·大纲全国理,5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列{1anan+1}的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100[答案]A[解析]本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用,以及裂项求和的综合应用.∵a5=5,S5=15,∴a1+a52=15,即a1=1.∴d=a5-a15-1=1,∴an=n.∴1anan+1=1nn+=1n-1n+1.3则数列{1anan+1}的前100项的和为:T100=(1-12)+(12-13)+…+(1100-1101)=1-1101=100101.故选A.[点评]本题亦可利用等差数列的性质,由S5=15得5a3=15,即a3=3,再进一步求解.6.(文)在函数y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数y=f(x)的解析式可能为()A.f(x)=2x+1B.f(x)=4x2C.f(x)=log3xD.f(x)=34x[答案]D[解析]对于函数f(x)=34x上的点列(xn,yn),有yn=34xn,由于{xn}是等差数列,所以xn+1-xn=d,因此yn+1yn=34xn+134xn=34xn+1-xn=34d,这是一个与n无关的常数,故{yn}是等比数列.故选D.[点评]根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正),其对数成等差,指数成等差时,幂成等比.(理)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项,若bn=1an·an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,则T2014=()A.20134029B.20144029C.40174029D.40184029[答案]B[解析]依题意,将(3m+1)x+(1-m)y-4=0化为(x+y-4)+m(3x-y)=0,令x+y-4=03x-y=0,解得x=1y=3,∴直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0过定点(1,3),∴a1=1,a2=3,公差d=2,an=2n-1,∴bn=1an·an+1=12(12n-1-12n+1),4∴T2014=12×[(11-13)+(13-15)+…+(14027-14029)]=12×(1-14029)=20144029.故选B.7.(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则a2+c2b2的值为________.[答案]20[解析]依题意得①a+c=2b,b2=ac.或②a+c=2b,a2=bc.或③a+c=2b,c2=ab.由①得a=b=c,这与“a,b,c是递减的等差数列”矛盾;由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0,又ab,因此a=-2b,c=4b,a2+c2b2=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0,又bc,因此有c=-2b,a=4b,a2+c2b2=20.8.(文)(2011·天津文,11)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为________.[答案]110[解析]由题意,设公差为d,则a1+2d=16,20a1+-2d=20,解得a1=20,d=-2.∴S10=10a1+-2d=110.(理)设等差数列{an}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=105,则a11+a12+a13=________.[答案]75[解析]∵a1+a2+a3=15,a1a2a3=105,∴a2=5,a1a3=21,∴a1+d=5,a1a1+2d=21,∵d0,∴d=2,a1=3,∴a11+a12+a13=3a1+33d=75.9.(文)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行24685第2行16141210第3行18202224…………2826那么2014应该在第________行第________列.[答案]2522[解析]通项an=2n,故2014为第1007项,∵1007=4×251+3,又251为奇数,因此2014应排在第252行,且第252行从右向左排第3个数,即252行第2列.(理)已知an=n的各项排列成如图的三角形状:记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(31,12)=________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9…………………………[答案]912[解析]由题意知第1行有1个数,第2行有3个数,……第n行有2n-1个数,故前n行有Sn=n[1+n-2=n2个数,因此前30行共有S30=900个数,故第31行的第一个数为901,第12个数为912,即A(31,12)=912.10.(文)(2011·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N+)在函数f(x)=3x2-2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=3an·an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)由已知点(n,Sn)(n∈N+)在函数f(x)=3x2-2x的图象上,可得Sn=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5,当n=1时,a1=S1=1也适合上式,∴an=6n-5.(2)bn=3anan+1=3n-n+=12(16n-5-16n+1),∴Tn=12(11-17+17-113+…+16n-5-16n+1)6=12(1-16n+1)=12-112n+2.(理)(2011·重庆文,16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍),∴q=2,∴an=a1·qn-1=2·2n-1=2n.(2)数列bn=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=-2n1-2+[n×1+nn-2×2]=2n+1+n2-2.能力拓展提升11.(文)已知在等差数列{an}中,对任意n∈N*,都有anan+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的两根,且前15项的和S15=m,则数列{an}的公差是()A.-2或-3B.2或3C.-2D.3[答案]A[解析]由2a5=a2+a8=12,得a5=6,由S15=m得a8=m15.又因为a8是方程x2-12x+m=0的根,解之得m=0,或m=-45,则a8=0,或a8=-3.由3d=a8-a5得d=-2,或d=-3.(理)如表定义函数f(x):x12345f(x)54312对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2014的值是()A.1B.2C.3D.4[答案]A[解析]本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律.由特殊到一般易知a1=4,a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,…,据7此可归纳数列{an}为以4为周期的数列,从而a2014=a2=1.12.(2011·烟台诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn且S150,S160,则S1a1,S2a2,…,S15a15中最大的是()A.S15a15B.S9a9C.S8a8D.S1a1[答案]C[解析]S150,S160,⇒a1+7d0,a1+152d0,⇒a80,a90.∴0S1S2…S8S9S10…S150S16,a1a2…a80a9,∴S8a8最大.故选C.13.(文)(2011·湖北文,9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3L,下面3节的容积共4L,则第5节的容积为()A.1LB.6766LC.4744LD.3733L[答案]B[解析]设该数列为{an}公差为d,则a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,3a1+21d=4,解之得a1=1322,d=766,所以第5节的容积为a5=a1+4d=1322+766×4=6766.(理)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,若S21=S4000,O为坐标原点,点P(1,an),点Q(2011,a2011),则OP→·OQ→等于()A.2011B.-2011C.0D.18[答案]A[解析]S21=S4000⇒a22+a23+…+a4000=0⇒a2011=0,又P(1,an),Q(2011,a2011),则OP→=(1,an),OQ→=(2011,a2011),∴OP→·OQ→=(1,an)·(2011,a2011)=2011+ana2011=2011,故选A.14.(文)(2011·哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足xn-xn-1=d,(n∈N*,n≥2),其中d为常数,x1+x2+…+x20=80,则x5+x16=________.[答案]8[解析]由xn-xn-1=d知{xn}为公差为d的等差数列,∴x1+x2+…+x20=80⇒10(x1+