(2013春季发行)高三数学第一轮总复习9-6空间向量及其运算理新人教A版

19-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.(2011·芜湖模拟)已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为()A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4D．4，407，－15[答案]B[解析]∵AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，BC→＝(3,1,4)，则x－＋5y＋6＝0，x－＋y－12＝0，解得x＝407，y＝－157.2．(2011·日照模拟)若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为()A.48585B.6985C．－1515D．0[答案]C[解析]cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝2×2－823×25＝－1515.3．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直[答案]B[解析]AB→＝(－3，－3,3)，CD→＝(1,1，－1)，AB→＝－3CD→，2又BC→＝(5,3，－5)，AB→∥\'BC→，∴AB∥CD.4．(2011·天津模拟)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.647D.657[答案]D[解析]由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即有7＝2m－n，5＝－m＋4n，λ＝3m－2n，解得m＝337，n＝177，λ＝657.5．(2011·济宁月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，AM→＝12MC1→，点N为B1B的中点，则|MN|＝()A.216aB.66aC.156aD.153a[答案]A[解析]MN→＝AN→－AM→＝AN→－13AC1→＝AB→＋BN→－13AB→＋AD→＋AA1→＝23AB→＋16AA1→－13AD→.∴|MN→|＝49|AB→|2＋136|AA1→|2＋19|AD→|2＝216a.6.(2012·丽水调研)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()3A．(1,1,1)B．(1,1，12)C．(1,1，32)D．(1,1,2)[答案]A[解析]由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0,2m)(m0)，则E(1,1，m)，∴AE→＝(－1,1，m)，DP→＝(0,0,2m)，∴|AE→|＝2＋m2，|DP→|＝4m2，AE→·DP→＝2m2，∵cos〈DP→，AB→〉＝33，∴2m22＋m2·4m2＝33，解之得m＝1，故选A.7．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.[答案]2[解析]∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.8．若a＝(3x，－5,4)与b＝(x,2x，－2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为________．[答案]－23，4[解析]∵a与b的夹角为钝角，∴a·b0，∴3x2－10x－80，∴－23x4，又当a与b方向相反时，a·b0，∴存在λ0，使a＝λb，∴(3x，－5,4)＝(λx,2λx，－2λ)，4∴3x＝λx，－5＝2λx，4＝－2λ，此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－23x4.9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别在直线AA1和BD1上运动．当M、N在何位置时，|MN|最小，且|MN|的最小值是________．[答案]22[解析]建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设M(1,0，t)，BN→＝λBD1→，则0≤t≤1,0≤λ≤1，设N(x0，y0，z0)，则(x0－1，y0－1，z0)＝λ(－1，－1,1)，∴x0－1＝－λ，y0－1＝－λ，z0＝λ，∴N(1－λ，1－λ，λ)，∴MN→＝(－λ，1－λ，λ－t)，|MN→|2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t)2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t)2＝2(λ－12)2＋(λ－t)2＋12，当且仅当λ＝12＝t时，|MN→|2取到最小值12，5∴|MN→|的最小值为22.10．(2011·福州模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB→、AC→为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝3且a分别与AB→、AC→垂直，求向量a的坐标．[解析]AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)．(1)因为cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12.所以sin〈AB→，AC→〉＝32.所以S＝|AB→|·|AC→|sin〈AB→，AC→〉＝73.即以AB→、AC→为边的平行四边形面积为73.(2)设a＝(x，y，z)，由|a|＝3，a⊥AB→，a⊥AC→，可得x2＋y2＋z2＝3，－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0，⇒x＝1，y＝1，z＝1，或x＝－1，y＝－1，z＝－1.所以a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).能力拓展提升11.6三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点．则AE与CF所成角的余弦值等于()A.45B.1213C.35D.513[答案]A[解析]以C为原点，CA→、CB→、CC1→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC＝1，则A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点，∴E(12，0,1)，F(0，12，1)，∴AE→＝(－12，0,1)，CF→＝(0，12，1)，∴cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→|·|CF→|＝152×52＝45，故选A.12．(2011·天津模拟)正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为()A．1B.52C.2D．2[答案]C[解析]EF→＝EA→＋AF→＝－12(AB→＋AC→)＋12AD→，由条件知|AB→|＝|AC→|＝|AD→|＝2，AB→·AC→＝AB→·AD→＝AC→·AD→＝2，7∴|EF→|2＝14[|AD→|2＋|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→－2AB→·AD→－2AC→·AD→]＝2，∴|EF→|＝2.13．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c[答案]A[解析]BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(B1A1→＋B1C1→)＝AA1→＋12(－AB→＋AD→)＝c－12a＋12b，故选A.14．(2011·泰安模拟)如图，空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→等于________．8[答案]－23a＋12b＋12c[解析]MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝12(b＋c)－23a＝－23a＋12b＋12c.[点评]空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．15．(2011·东营期末)若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.(3)以坐标原点O为起点作向量OA→＝a，OB→＝b，求O到直线AB的距离．[解析]ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴k－27＝5k＋3－4＝－k＋5－16，解得k＝－13.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.解得k＝1063.(3)由条件知A(1,5，－1)，B(－2,3,5)，∴AO→＝(－1，－5,1)，AB→＝(－3，－2,6)，9AO→·AB→＝19，|AB→|＝7，∴O到直线AB的距离d＝|AO→·AB→||AB→|＝197.16.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.[解析]由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，10建立如图所示的直角坐标系A－xyz.(1)设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(0,0,2c)．所以，GH→＝(0，b,0)，BC→＝(0，b,0)，于是GH→＝BC→.又点G不在直线BC上，则GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以EF→＝(－a,0，c)，CH→＝(－a,0，c)，EF→＝CH→，又C∉EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．(3)由AB＝BE，得c＝a，所以CH→＝(－a,0，a)，AE→＝(a,0，a)，又AD→＝(0,2b,0)，因此CH→·AE→＝0，CH→·AD→＝0，即CH⊥AE，CH⊥AD，又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.[点评]如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．11(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG，由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．(3)连结EG，由AB＝BE，BE綊AG，及∠BAG＝90°知四边形ABEG是正方形，故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，∴BG⊥ED.又EC∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.1．(2011·郑州一中月考)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]C[解析]a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝12＋22＋32＝14，12所