(2013春季发行)高三数学第一轮总复习2-6幂函数与函数的图象变换新人教A版

12-6幂函数与函数的图象变换基础巩固强化1.(2011·烟台模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(27，13)，则f(18)的值为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]设f(x)＝xα，由条件知f(27)＝13，∴27α＝13，∴α＝－13，∴f(x)＝x－13，∴f(18)＝(18)－13＝2.2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y＝f(x)的图象可以是()[答案]D[解析]由题意知函数y＝f(x)的图象与直线y＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D图存在交点．(理)(2011·福州三中模拟)已知函数f(x)的图象如图，则函数y＝log12f(x)的图象大致是()2[答案]A[解析]由f(x)的图象知f(x)≥1，∴y＝log12f(x)≤0，故选A.3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1[答案]B[解析]y＝x2为偶函数，对应②；y＝x12定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝x13均为奇函数，但y＝x3比y＝x13增长率大，故①对应y＝x3.(理)给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x12，3f4(x)＝1x.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.4．(文)(2012·宁波期末)函数y＝lncosx(－π2xπ2)的图象是()[答案]A[解析]由已知得0cosx≤1，∴lncosx≤0，排除B、C、D.故选A.(理)(2012·湖北重点中学联考)已知a＝ln12010－12010，b＝ln12011－12011，c＝ln120124－12012，则()A．abcB．acbC．cabD．cba[答案]A[解析]记f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx，当0x1时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵11201012011120120，∴abc，选A.5．(文)幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x32的图象经过的“区域”是()A．⑧，③B．⑦，③C．⑥，②D．⑤，①[答案]C[解析]y＝x32是增函数，∵321，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.(理)5幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝()A．1B．2C．3D．无法确定[答案]A[解析]由条件知，M13，23、N23，13，∴13＝23α，23＝13β，∴13αβ＝13βα＝23α＝13，∴αβ＝1.故选A.6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中ab)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()6[答案]A[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且ab，由图象知0a1，b－1，∴g(x)＝ax＋b单调减，且g(0)＝1＋b0，故选A.(理)(2011·新课标全国文)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个[答案]A[解析]由y＝f(x)与y＝|lgx|图象(如图)可知，选A.7．若幂函数f(x)的图象经过点A116，14，则它在A点处的切线方程为________．[答案]16x－8y＋1＝0[解析]设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点A，∴116α＝14，∴α＝12.∴f(x)＝x12，∴f′(x)＝12x，∴f′116＝2，故切线方程为y－14＝2×x－116，即16x－8y＋1＝0.8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范7围是________．[答案](－∞，－1)∪(3,5)[解析]由题意，得a＋10，10－2a0，或a＋10，10－2a0，a＋110－2a，或a＋10，10－2a0，a＋110－2a，∴a－1或3a5.(理)若函数f(x)＝dax2＋bx＋c(a、b、c，d∈R)，其图象如图所示，则a：b：c：d＝________.[答案]1：(－6)：5：(－8)[解析]由图象知，x≠1且x≠5，故ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5.∴－ba＝6，ca＝5，∴b＝－6a，c＝5a，又f(3)＝2，∴d＝18a＋6b＋2c＝－8a.故a：b：c：d＝1：(－6)：5：(－8)．9．若f(x)＝ax＋1x－1在区间(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．[答案](－1，＋∞)[解析]f(x)＝ax＋1x－1＝ax－＋a＋1x－1＝a＋a＋1x－1.∵f(x)在(－∞，1)上为减函数，∴a＋10，∴a－1.810．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．[解析]如图，设左侧射线对应的解析式为：y＝kx＋b(x≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得k＋b＝1，b＝2，解得k＝－1，b＝2，所以左侧射线对应的函数解析式是y＝－x＋2(x≤1)；同理，x≥3时，函数解析式为：y＝x－2(x≥3)；再设抛物线段的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a0)，将(1,1)代入得，a＋2＝1，∴a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．综上知，函数解析式为y＝－x＋2x，－x2＋4x－x，x－x能力拓展提升11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是()[答案]C[解析]f(x)＝2|log2x|＝2|log2x|，x≥12－|log2x|，0x1，∴f(x)＝x，x≥1，1x，0x1.(理)(2011·威海模拟)设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()9A．(0,1)B．(2,3)C．(1,2)D．(3,4)[答案]C[解析]设f(x)＝x3－12x－2，则f(1)＝－10，f(2)＝70，所以x0在区间(1,2)内．12．(文)(2011·成都一诊)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．abcB．cabC．bacD．bca[答案]C[解析]由x∈(e－1,1)得－1lnx0，a－b＝－lnx0，ab，a－c＝lnx(1－ln2x)0，ac，因此有bac，选C.(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是()[答案]C[解析]根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A．相交，且交点在坐标原点B．相交，且交点在第Ⅰ象限C．相交，且交点在第Ⅱ象限D．相交，且交点在第Ⅳ象限[答案]A[解析]易求得两直线方程分别为AB：y＝12x、CD：y＝lg22x，则其交点为坐标原点．如图所示．10(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为()A.13(1＋ln3)B.13ln3C.13(1－ln3)D．ln3－1[答案]A[解析]设u(x)＝x3－lnx，则u′(x)＝3x2－1x.令u′(x)＝0，得x＝313.当0x313时，u′(x)0，u(x)单调递减；当x313时，u′(x)0，u(x)单调递增．所以，当x＝313时，u(x)取到最小值，此极小值即为u(x)在(0，＋∞)上的最小值．∴|MN|＝|13－13ln13|＝13(1＋ln3)．14．(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①ab1；②ba1；③ab1；④ba1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．[答案]②④⑤11[解析]由已知log2a＝log3b，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝log3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．15．(文)已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析](1)∵f(4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m＝1.(2)f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1－x1)－(2x2－x2)＝(x2－x1)(2x1x2＋1)．∵0x1x2，∴x2－x10，2x1x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，即f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2011·山东烟台调研)设函数f(x)＝px－1x－2lnx，g(x)＝2ex.(p是实数，e是自然对数的底数)(1)当p＝2e时，求f(x)＋g(x)的单调区间；(2)若直线l与函数f(x)，g(x)图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点(1,0)，求p的值．[解析](1)当p＝2e时，f(x)＋g(x)＝2ex－1x－2lnx＋2ex＝2ex－2lnx，则(f(x)＋g(x))′＝2e－2x.故当x1e时，f(x)＋g(x)是增函数；当0x1e时，f(x)＋g(x)是减函数．综上，f(x)＋g(x)的单调增区间为[1e，＋∞)，12f(x)＋g(x)的单调减区间为(0，1e]．(2)∵f′(x)＝p＋px2－2x，∴f′(1)＝2(p－1)．设直线l：y＝2(p－1)(x－1)，由y＝p－x－y＝2ex得(p－1)(x－1)＝ex，即(p－1)x2－(p－1)x－e＝0.当p＝1时，方程无解；当p≠1时，∵l与g(x)图象相切，∴Δ＝(p－1)2－4(p－1)(－e)＝0，得p＝1－4e.综上，p＝1－4e.16．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额