(2013春季发行)高三数学第一轮总复习7-1不等式的性质及解法新人教A版

17-1不等式的性质及解法基础巩固强化1.(文)(2012·河北保定模拟)若a0且a≠1，b0，则“logab0”是“(a－1)(b－1)＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]∵a0且a≠1，b0，∴logab0⇔0a10b1或a1b1⇔(a－1)(b－1)0.(理)(2011·马鞍山二中月考)设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b2；③a＋b－2；④ab1；⑤logab0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤[答案]D[解析]①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b－2可能a0，b0；④ab1，可能a0，b0；⑤logab0，∴0a1，b1或a1,0b1，故②⑤能推出．2．(2011·湖北八校联考)若ab0，则下列不等式中不一定成立的是()A.1a1bB.1a－b1bC.－a－bD．|a|－b[答案]B[解析]取a＝－2，b＝－1，逐一检验即可知选B.3．(2011·重庆二诊)设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B.12(12)a(12)bC．a2ab1D．log12blog12a0[答案]B[解析]依题意得ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝(12)x在R上是减函数得，当0ba1时，有(12)0(12)b(12)a(12)1，即12(12)a(12)b，因此B正确；同理可知D不正确．综上所述，选B.2[点评]可取特值a＝12，b＝14检验．4．(文)(2012·天津文，5)设x∈R，则“x12”是“2x2＋x－10”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．由2x2＋x－10得(x＋1)(2x－1)0，即x－1或x12，又因为x12⇒2x2＋x－10，而2x2＋x－10⇒/x12，选A.(理)(2011·青岛模拟)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x2－bx－a0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．(13，12)D．(－∞，13)∪(12，＋∞)[答案]A[解析]由题意知－12、－13是方程ax2－bx－1＝0的根，由韦达定理得，－12＋(－13)＝ba，－12×(－13)＝－1a.∴a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，∴2x3.5．(文)(2012·东城二模)设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]A[解析]由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为3x≥0，x2－4x＋63，或x0，x＋63，解之得－3x1或x3，∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)若关于x的不等式(m－1)x4x－x2的解集为{x|0x2}，则实数m的值是()A.12B．1C．2D．0[答案]C[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数y＝4x－x2和y＝(m－1)x的图象，结合题意及图象可知，函数y＝(m－1)x的图象必经过点(2,2)，即有2(m－1)＝2，求得m＝2.故选C.6．(文)(2011·泉州质检)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定[答案]B[解析]由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)0，故MN，选B.(理)已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M、N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定[答案]B[解析]∵0a1b，∴ab1，a0，b0，∴M－N＝1－a1＋a＋1－b1＋b4＝－a＋b＋＋a－b＋a＋b＝－ab＋a＋b0，∴MN.7．(文)不等式|x－1x＋2|x－1x＋2的解集为A，不等式|log2x|2的解集为B，则A∩B＝________.[答案]{x|14x1}[解析]∵|x－1x＋2|x－1x＋2，∴x－1x＋20，∴－2x1，∵|log2x|2，∴－2log2x2，∴14x4，∴A∩B＝{x|14x1}．(理)若规定abcd＝|ad－bc|，则不等式log2111x0的解集为________．[答案](0,1)∪(1,2)[解析]据题意111x＝|x－1|，∴不等式log2111x0化为log2|x－1|0，∴0|x－1|1，∴1x2或0x1.8．(2012·河南洛阳统考)已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝(12)x－m，若∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．[答案][－52，＋∞)[解析]要使对∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，只需使f(x)在区间[1,2]上的最小值大于等于g(x)在区间[－1,1]上的最小值即可．因为f′(x)＝x3－x2≥0对x∈[1,2]恒成立，所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，从而函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(1)＝3.易知函数g(x)在区间[－1,1]上单调递减，故函数g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝12－m.由题意得3≥12－m，解得m≥－52.9．(文)已知f(x)＝1x，0x，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．5[答案](－∞，1][解析]原不等式化为①2x≤2x≥0或②x≤2，x0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]．(理)已知符号函数sgnx＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则不等式x2－(x＋1)sgnx－10的解集是________．[答案]{x|x－1或x2}[解析]不等式x2－(x＋1)sgnx－10化为x0，x2－x－20，或x＝0，x2－x＋－10，或x0，x2＋x0.∴x2或x－1.10．(2012·山东青岛市检测)已知函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，解关于x的不等式x2－x－a2＋a0.[分析]函数y＝fx的定义域为R，即f(x)≥0恒成立，ax2＋2ax＋1≥0恒成立，即a＝01≥0或a0Δ≤0，不等式x2－x－a2＋a0，可利用分组分解因式得，(x－a)(x＋a－1)0.[解析]因为函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立(*)．当a＝0时，1≥0恒成立，满足题意，当a≠0时，为满足(*)必有a0且Δ＝4a2－4a≤0，解得0a≤1，综上可知：a的取值范围是0≤a≤1，原不等式可化为(x－a)[x－(1－a)]0，当0≤a12时，解得xa，或x1－a；当a＝12时，解得x≠12；当12a≤1时，解得x1－a，或xa，综上，当0≤a12时，不等式的解集为{x|xa或x1－a}，当a＝12时，不等式的解集为{x|x∈R，x≠12}，6当12a≤1时，不等式的解集为{x|x1－a或xa}.能力拓展提升11.(文)(2011·四川成都期末)已知ab0，且ab＝1，设c＝2a＋b，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则有()A．PMNB．MPNC．NPMD．PNM[答案]A[解析]因为ab0，且ab＝1，所以a1,0b1，a＋b2ab＝2，c＝2a＋b1，所以logcalogc(ab)logcb，即PMN，选A.(理)(2011·山东临沂模拟)已知0ab，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是()A．log2a0B．2a－b12C．2ba＋ab12D．log2a＋log2b－2[答案]D[解析]当a＝14，b＝34时A不成立；对B有2a－b12⇒2a－b2－1⇒a－b－1，又a＋b＝1，可得a0，与a0矛盾；对C有2ba＋ab12⇒2ba＋ab2－1⇒ba＋ab－1，与ba＋ab2(∵a≠b，且a0，b0)矛盾，故选D.12．(文)(2011·东营模拟)已知x∈R，A＝(x＋3)(x＋7)，B＝x2＋9x＋20，则A、B的大小关系为()A．ABB．A＝BC．ABD．与x有关[答案]D[解析]A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x2＋9x＋20)＝x－1，当x1时AB，当x＝1时A＝B，7当x1时AB，故选D.(理)(2011·吉林联考)已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb[答案]A[解析]解法1：特值法：令a＝0，则b＝1，c＝5，∴cba，排除B、D；令c＝b，则a＝2，∴b＝c＝5，也满足ba，排除C，选A.解法2：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∵1＋a2－a＝a－122＋340，∴1＋a2a，∴ba，∴c≥ba.13．若关于x的不等式2x2－(2a＋1)x＋a0的整数解有且仅有1、2，则实数a的取值范围是________．[答案](2,3][解析]将不等式变形为：(2x－1)(x－a)0，由题设条件知a12，∴12xa，∵不等式的整数解有且仅有1、2，∴2a≤3.14．已知等比数列{an}中，a10，q0，前n项和为Sn，比较S3a3与S5a5的大小，结果为________．[答案]S3a3S5a5[分析]可以利用等比数列前n项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意对公比的分类讨论．[解析]当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3S5a5；当q0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a1－q3a1q2－q－a1－q5a1q4－q＝q2－q3－－q5q4－q＝－q－1q40，所以有S3a3S5a5.综上可知S3a3S5a5.15．(2011·珠海模拟)已知ba0，xy0，求证：xx＋ayy＋b.8[解析]∵xy0，∴01x1y，∵ba0，∴0axby，∴11＋ax1＋by，即1x＋axy＋by，∴xx＋ayy＋b.16．(文)(2011·北京海淀区诊断)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．[解析](1)因为f′(x)＝(ax＋a－1)ex，所以当a＝1时，f′(x)＝xex，令f′(x)＝0，则x＝0，所以f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.(2)因为f′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立．又ex0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要