2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5 §5

知识点一基本不等式ab≤a＋b21．基本不等式成立的条件：a0，b0.2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．知识点二几个重要的不等式1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．2.ba＋ab≥2(a，b同号)．3．ab≤a＋b22(a，b∈R)．4.a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．知识点三利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)知识点四绝对值不等式1．绝对值三角不等式：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．含绝对值不等式的解法：(1)|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型；(2)|x－a|＋|x－b|≤c与|x－a|＋|x－b|≥c型．解含绝对值不等式的主要思路是去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．含有多个绝对值符号的不等式，可采用零点分区间的方法去绝对值符号．题型一判断不等式是否成立例1设a，b，c∈R，下列命题正确的是()A．若|a||b|，则|a＋c||b＋c|B．若|a||b|，则|a－c||b－c|C．若|a||b－c|，则|a||b|－|c|D．若|a||b－c|，则|a|－|c||b|答案D解析对于A选项，若|a||b|，不一定有|a＋c||b＋c|成立，如果a＝－2，b＝3，c＝－1，此时|a＋c||b＋c|，故A不正确；对于B选项，若|a||b|，不一定有|a－c||b－c|成立，如果a＝－2，b＝3，c＝1，此时|a－c||b－c|，故B不正确；对于C选项，若|a||b－c|，不一定有|a||b|－|c|，如果a＝2，b＝2，c＝－3，此时|a||b|－|c|，故C不正确；对于D选项，若|a||b－c|，则必有|a|－|c||b|成立，因为|a||b－c|≤|b|＋|c|，所以|a|－|c||b|，故D正确，故选D.感悟与点拨判断不等式是否成立，主要是利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．跟踪训练1(1)设ba0，且a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b中最大的是()A．bB．a2＋b2C．2abD.12(2)下列四个不等式：①x＋1x≥2(x≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c＞0)；③a＋mb＋m＞ab(a，b，m＞0)，其中恒成立的有()A．3个B．2个C．1个D．0个答案(1)A(2)C解析(1)由a＋b＝1，ba0，得12b1,0a12，∵b－(a2＋b2)＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)0，∴ba2＋b2＞2ab，即b最大．(2)②正确．题型二基本不等式例2(1)若a，b都正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10(2)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是()A．[6，＋∞)B．[9，＋∞)C．(0,9]D．(0,6](3)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________，此时x＝________.答案(1)C(2)B(3)3＋221－22解析(1)1＋ba1＋4ab＝1＋ba＋4ab＋4＝5＋ba＋4ab≥5＋24＝9.当且仅当b＝2a时，等号成立．(2)∵a，b0，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3(当且仅当a＝b时，取“＝”)，即ab－2ab－3≥0，∴ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.(3)∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．∴y＝2x，∴2x＋2x＝1，∴x＝1－22.感悟与点拨(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够利用基本不等式．跟踪训练2(1)已知a∈R，b＞0，且(a＋b)b＝1，则a＋2a＋b的最小值是________．(2)已知x3，则f(x)＝4x－3＋x的最大值为________．(3)若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为________．答案(1)2(2)－1(3)15，＋∞解析(1)∵b＞0且(a＋b)b＝1，∴a＋b＝1b，a＝1b－b，∴a＋2a＋b＝1b－b＋2b＝1b＋b≥21b·b＝2，当且仅当1b＝b，即b＝1时，等号成立．(2)∵x3，∴x－30，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋3－x＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.(3)∵x0，∴x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，∴xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12＋3＝15，即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15，即实数a的取值范围为15，＋∞.题型三绝对值不等式例3(1)(2017年4月学考)已知a，b∈R，且a≠－1，则|a＋b|＋1a＋1－b的最小值是________．答案1解析|a＋b|＋1a＋1－b≥a＋b＋1a＋1－b＝a＋1＋1a＋1－1≥1，当且仅当a＝0时取等号．(2)求不等式|x＋3|－|2x－1|x2＋1的解集．解①当x－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x10，所以x－3.②当－3≤x12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x－25，所以－3≤x－25.③当x≥12时，原不等式化为x＋3＋1－2xx2＋1，解得x2，所以x2.综上可知，原不等式的解集为xx－25或x2.感悟与点拨对于含多个绝对值的不等式问题，关键是去绝对值符号，可以分别令各绝对值中的式子为零，得到相应的根，将这些根从小到大在数轴上进行排列，以这些根为分界点逐一进行讨论．跟踪训练3(1)(2018年4月学考)不等式|2x－1|－|x＋1|＜1的解集是()A.x－3＜x＜13B.x－13＜x＜3C.xx＜－3或x＞13D.xx＜－13或x＞3答案B解析①当x＜－1时，原不等式化为－(2x－1)＋(x＋1)＜1，解得x＞1(舍去)；②当－1≤x＜12时，原不等式化为－(2x－1)－(x＋1)＜1，解得－13＜x＜12；③当x≥12时，原不等式化为(2x－1)－(x＋1)＜1.解得12≤x＜3.综上可知，原不等式的解集为x－13＜x＜3.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.①当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；②设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解①当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.由图象可知：当x∈(0,2)时，y＜0，故原不等式的解集为(0,2)．②当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a，f(x)≤g(x)可化为1＋a≤x＋3.∴x≥a－2对x∈－a2，12都成立，∴－a2≥a－2即a≤43，又由已知a＞－1，∴a的取值范围是－1，43.一、选择题1．设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14答案B解析由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.因为a0，b0，所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．2．若lgx＋lgy＝2，则1x＋1y的最小值是()A.120B.15C.12D．2答案B解析由条件可知x0，y0，且xy＝102＝100，所以1x＋1y≥21xy＝15，当且仅当1x＝1y＝110时，等号成立．3．不等式|x－1|＋|x＋2|≤4的解集是()A.－52，32B.－52，32C.－2，32D.－52，1答案B解析设f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)＝－2x－1，x≤－2，3，－2＜x＜1，2x＋1，x≥1，画f(x)的图象(图略)与y＝4相交，可以求得．4．设正实数a，b满足a＋λb＝2(其中λ为正数)，若ab的最大值为3，则λ等于()A．3B.32C.23D.13答案D解析由题意得ab＝1λ×a×(λb)≤1λ×a＋λb22＝1λ，当且仅当a＝λb＝1时，等号成立，所以1λ＝3，λ＝13，故选D.5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案B解析设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x∈N*)，即x＝80时“＝”成立，故选B.6．若正数a，b满足1a＋2b＝1，则2a－1＋1b－2的最小值为()A．2B.2C．22D．1答案A解析由1a＋2b＝1得b＝2aa－1＞0，∴a－1＞0，∴2a－1＋1b－2＝2a－1＋a－12≥2(当且仅当a－1＝2，即a＝3时，等号成立)．7．已知x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)答案D解析∵x＞0，y＞0且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min＞m2＋2m成立，即8＞m2＋2m，解得－4＜m＜2.8．不等式|x－2|＋|x＋3|a恒成立，则a的取值范围是()A．a≤5B．a5C．a≤1D．a1答案B解析由于|x－2|＋|x＋3|表示数轴上的x对应的点到2，－3对应点的距离之和，它的最小值为5，要使不等式|x－2|＋|x＋3|a恒成立，则有5a，即a5，故选B.9．设a＞0，b＞0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于()A．0B．4C．－4D．－2答案C解析由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－a＋b2ab，而a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－a＋b2ab≤－4，因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.10．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有以下性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝ex*1ex的最小值为()A．2B．3C．6D．8答案B解析由题意可知f(x)＝ex*1ex＝ex·1ex＋ex＋1ex＝ex＋1ex＋1≥2ex·1ex＋1＝3(ex0)，当且仅当ex＝1ex，即x＝0时等号成立，故函数f(x)的最小值为3.故选B.二、填空题11．若不等式|3x－b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，