坐标系中的坐标变换2013(压轴题研究)

中考热点之一以平面直角坐标系为载体，将“几种函数的图像或常见的几何图形”进行平移、轴对称、旋转等变换，把图形变换的性质与几何、方程、函数、三角等知识有机结合，通过计算与证明，着重考察学生的创新精神与实践能力。这类在平面直角坐标系中以图形变换为特征的题型，已是近年各地中考命题的热点。一、平面直角坐标系中点的坐标变换规律1．平移变换：Ｐ（ｘ，ｙ）左（右）平移ａ个单位：横坐标变化：左减右加上（下）平移b个单位：纵坐标变化：上加下减Q（ｘａ，ｙ±b）2．轴对称变换：Ｐ（ｘ，ｙ）关于X轴对称：纵同横反：Ｐ（—ｘ，ｙ）关于Y轴对称：横同纵反：Ｐ（ｘ，—ｙ）3．旋转变换（关于原点对称）Ｐ（ｘ，ｙ）关于原点O中心对称：横、纵坐标互为相反数Q（—ｘ，—ｙ）4．位似变换：Ｐ（ｘ，ｙ）放大（缩小）K:1P（Kｘ，Kｙ）2P（-Kｘ，-Kｙ）二、几种函数的图像的变换规律★双曲线关于原点对称正比例函数Y=KX与双曲线相交于A、B两点●xyＯxkyＢＡ●●kxy（1）A、B两点的横、纵坐标互为相反数。（2）OA=OB★双曲线关于直线对称正比例函数Y=KX与双曲线相交于A、B两点●xyＯxkyＢＡ●●xy（1）A、B两点的横、纵坐标互为相反数。（2）OA=OBxy-xy●●●●双曲线上每个小长方形面积=∣x∣×∣y∣=∣xy∣=∣K∣)0(xxky(X,y)B′●B●●A●PxyA(-2,5)B(1.1)直线X=-4●●（-9，1）★抛物线的对称性xy★平移直线)0(kbkxy平移直线K值不变，b变化Y=-0.5X+11.把直线Y=-0.5X-1向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为上平移2个单位（Y=-0.5X+0.25）●(0,-1)●(0,+1)●(0.5,0)●(-2,0)Y=-0.5X-1(Y=-0.5X+b)分析：上下平移，看与Y轴交点2.把直线Y=-0.5X-1向右平移2.5个单位长度，平移后直线的解析式为(Y=-0.5X+b)分析：左右平移，看与X轴交点右平移2.5个单位★平移抛物线●●xy常量a不变顶点坐标变化平移抛物线khxay2)(若把抛物线：2)3(22xy下移3个单位，右移4个单位抛物线为5)1(22xy（-3，-2）（+1，-5）khxay2)(X=-h抛物线关于Y轴对称开口大小,方向,形状不变常量a不变顶点坐标关于Y轴对称顶点坐标（-h,k）khxay2)(其对称图形解析式为khxay2)(顶点坐标（h,k）●●●X＝h★抛物线关于Y轴对称xykhxay2)(对称轴:直线X=-h抛物线关于X轴对称开口大小，形状不变仅开口方向改变常量a互为相反数顶点坐标关于X轴对称顶点坐标（-h,k）●其对称图形解析式为khxay2)(khxay2)(●顶点坐标（-h,-k）★抛物线关于Ｘ轴对称xy三、涉及“图形变换”的压轴题赏析C2yxAOBPMC1C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）例1(09宁德)如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1）抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2）点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．522xayC2★策略与方法图（1）yxAOBPC1C2C3●M解：(1)顶点P（-2，-5）；把点B（1，0）带入C1解析式，得a=5∕9.HG(2)连接PM，作PH⊥x轴于H，MG⊥x轴于G.∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B，且PB＝MB∴△PBH≌△MBG∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3∴顶点M的坐标为（4，5）又抛物线C3由C1关于x轴对称再平移得到，∴抛物线C3的表达式为：54952xyyxAOBPN图2C1C4QEF图（2）★策略与方法(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称由（2）得点N的纵坐标为5，则设点N（m，5）作PH⊥x轴于H，NG⊥x轴G,PK⊥NG于K∵旋转中心Q在x轴上,B（1，0）H（-2，0）∴EF＝AB＝2BH＝6∴FG＝3，即F（m+3，0）HGK综上所得，当Q点坐标为（44／3，0）或（10／3，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．根据勾股定理得10442222mmPKNKPN50102222mmHFPHPF22235NF222PNNFPF②当∠PFN＝90º时，，解得m＝10／3，∴Q（10／3，0）①当∠PNF＝90º时，，解得m＝44／3，∴Q（44／3，0）222PFNFPN③∵△PNF中，PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º例2（09山西）如图，已知直线与直线相交于点C，L1﹑L2分别交X轴于A,B两点．矩形DEFG的顶点D,E分别在直线L1,L2上，顶点F,G都在X轴上，且点G与点B重合．（1）求△ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点O出发，沿X轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t秒(0≤t≤12)，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．128:33lyx2:216lyxADBEOCFxyL2（G）L1ADBEOCFxyＬ１G（图1）RＬ２ADBEOCFxyG（图2）RＬ１Ｌ２ADBEORFxy（图3）GCＬ１Ｌ２ABCxyＬ１Ｌ２DEFGABOCxyＬ１Ｌ２DEFG（1）解：由得X=-4，∴点Ａ坐标为（－４，０）03832xADBEOCFxyL2（G）L1由得X=８，∴Ｂ（８，０）0162x∴ＡＢ＝８－（－４）＝１２2833216yxyx，．由得56xy，．∴Ｃ（５，６）111263622ABCCSABy△·．∴★策略与方法ADBEOCFxyL2（G）L1（2）解：∵点Ｄ在上1l2888833DBDxxy，．则∴点D坐标为（８，８）又∵点Ｅ在Ｌ２上且821684EDEEyyxx，．．∴点E坐标为（４，８）.8,448EFDE★策略与方法（3）解：作CM⊥X轴于M，则MB=3①当０≤ｔ＜３时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（当ｔ=0时，重叠部分为四边形CHFG）．ADBEOCFxyＬ１G（图1）RＭＬ２HRtRtRGBCMB△∽△．∵BGRGBMCM，∴36tRG，即11236288223ABCBRGAFHSSSStttt△△△．∴2RGt．∴RtRtAFHAMC△∽△，∵241644333Stt．∴∴CMHFAMAF即69412HFt∴)8(32tHF★策略与方法②当3≤ｔ＜8时，如图2，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGRADBEOCFxyG（图2）RMＬ１Ｌ２H★策略与方法自己试着解答③当8≤ｔ＜12时，如图3，矩形DEFG与△ABC重叠部分为三角形AGRADBEORFxyM（图3）GCＬ１Ｌ２★策略与方法自己试着解答例3（09株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90度，AB=AC,点A、C在X轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与Y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求A点的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长BC交于点E，连结BQ并延长交AC于点F.试证明：FC·(AC+EC)为定值．xyBACDPFEQOxyBACDPFEQO解（1）由B（3，m）可知BC=m，ＯＣ＝３又△ABC为等腰直角三角形∴ＡＣ＝ＢＣ＝ｍ，ＡＯ＝ｍ－３∴点A的坐标是（ｍ－３，０）45ODAOAD（2）∵3ODOAm∴，则Ｄ（ｍ-３，０）又抛物线顶点为Ｐ（１，０），且过点Ｂ，Ｄ，所以可设抛物线的解析式为：2)1(xay221yxx∴抛物线的解析式为：14am解得22(31)(01)3amam∴★策略与方法（３）过Ｑ作ＱＭ⊥ＡＣ于Ｍ，过Ｑ作ＱＮ⊥ＢＣ于Ｎ，xyBACDPFEQOＭＮ设点Ｑ的坐标是：)12,(2xxx2(1)QMCNx3MCQNx则∴∽PQMPEC//QMCE∵2(1)12xxEC∴QMPMECPC∴2(1)ECx∴∴QNBNFCBC∴234(1)4xxFC//QNFC∵BQNBFC∴∽41FCx∴444()[42(1)](22)2(1)8111FCACECxxxxxx∴即：FC·(AC+EC)为定值★策略与方法12例4（09四川资阳）如图，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线L交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．(1)求直线l的函数解析式；(2)求点D的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB?若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图9解（1）配方,得∴对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1)．1)2(212xy取x=0代入得y=1，∴点A的坐标是(0，1)∴点B的坐标是(4，1)设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)将B、P的坐标代入，有14,12,kbkb解得1,3.kb∴直线l的解析式为y=x–3．CF5(2)连结AD交O′C于点E，∵点D由点A沿O′C翻折后得到，∴O′C垂直平分AD．由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴在Rt△AO′C中，O′A=2AC=4，∴O′C=2．据面积关系，O′C×AD=O′A×CA，∴AD=．855作DF⊥AB于F，则Rt△ADF∽Rt△CO′AAFDFADACOAOC∴（3）自己试着解答