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课后作业(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．α、β、γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．n⊥α，n⊥β，m⊥αB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l2．(2013·深圳模拟)设a，b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确命题的个数是()①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.A．1B．2C．3D．4图7－5－103．如图7－5－10，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD图7－5－114．如图7－5－11正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等5．如图7－5－12所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()图7－5－12A．AD⊥平面BCDB．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题6．(2012·江苏高考)如图7－5－13，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.图7－5－13图7－5－147．如图7－5－14所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．图7－5－158．如图7－5－15所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．三、解答题9．(2012·江苏高考)如图7－5－16，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．图7－5－16求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.图7－5－1710．(2013·揭阳模拟)如图7－5－17，在四棱锥S—ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并证明你的结论．11．(2012·江西高考)如图7－5－18所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.图7－5－18(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．解析及答案一、选择题1．【解析】由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，但当m⊥β时，n⊥α，n⊥β不一定成立，故选A.【答案】A2．【解析】由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确．【答案】D3．【解析】由CB⊥BA，CB⊥PA，PA∩BA＝A，知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确，故选C.【答案】C4．【解析】连接BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，从而A、B、C正确．因为点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以△AEF与△BEF的面积不相等．【答案】D5．【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】D二、填空题6．【解析】关键是求出四棱锥A－BB1D1D的高．连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝32且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO为四棱锥A－BB1D1D的高且AO＝12BD＝322.∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝32×2＝62，∴VA－BB1D1D＝13S矩形BB1D1D·AO＝13×62×322＝6(cm3)．【答案】67．【解析】由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD.∴平面MBD⊥平面PCD.【答案】DM⊥PC(答案不唯一)8．【解析】由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．【答案】①②③三、解答题9．【证明】(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.10．【证明】(1)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2)取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知：PD∥BC且PD＝12BC.在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR＝12BC.所以QR∥PD且QR＝PD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ∥平面SCD.(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.11．【解】(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形．由GD＝5，DE＝4，得GE＝GD2－DE2＝3.由GC＝42，CF＝4，得FG＝GC2－CF2＝4，所以EF＝5.在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝EG·GFEF＝125.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝13S矩形CDEF·GH＝16.